Mathematical analysis and numerical simulations of a model of complex fluids
Analyse mathématique et simulations numériques d'un modèle de fluides complexes
Résumé
We are interested in the mathematical analysis and numerical simulations of a model of non Newtonian fluids. We couple the Hébraud-Lequeux model that describes the planar Couette flow of concentrated suspensions with the momentum conservation equation. Besides the coupling of equations, the principal difficulty of the model comes from the fact that the microscopic equation is a non-linear parabolic equation of Fokker-Planck type that may degenerate into a hyperbolic equation. The purpose of this work is to study this model from both theoretical and numerical viewpoints. In the first part, we prove existence and uniqueness of solutions in a appropriate functional spaces. In the second one, we develop numerical schemes to simulate the model. Two methods (deterministic and stochastic) have been implemented. Variance reduction techniques have been developed to reduce the noise when the stochastic method is employed. Finally, optimisation techniques are used to fit the parameters of the model.
Nous nous intéressons à l'analyse mathématique et aux simulations numériques d'un modèle de fluides non newtoniens. Nous couplons le modèle d'Hébraud et Lequeux décrivant l'écoulement de Couette, plan de suspensions concentrés à l'échelle mésoscopique avec l'équation de conservation de la quantité de mouvement. Outre le couplage multi-échelle, la difficulté principale de ce modèle vient du fait que l'équation mésoscopique est une équation parabolique de type Fokker-Planck non linéaire qui peut dégénérer en une équation hyperbolique. Le but de cette thèse est d'étudier des deux points de vue théorique et numérique le modèle obtenu. Ainsi, dans la première partie, nous démontrons les théorèmes d'existence et d'unicité de solutions dans des espaces fonctionnels appropriés, et dans la seconde partie, nous développons des schémas numériques pour approcher les solutions du problème. Deux méthodes (déterministe et stochastique) ont été implémentées. Des tests de réduction de variance relatifs à la méthode stochastique ont été réalisés. Finalement, le problème de calibrage des paramètres par la méthode de l'adjoint a été abordé.