Self-adaptative moving mesh methods for hyperbolic problems in one and two space dimensions
Méthodes en maillages mobiles auto-adaptatifs pour des systèmes hyperboliques en une et deux dimensions d'espace
Résumé
the present work is a contribution to the development of dynamic meshes methods for solving partial differential equations in fluid mechanics. More precisely, we devise a finite-volume scheme, on non-structured dynamic meshes with a potentially variable topology, based on the Godunov' method. the node addition and substraction are based on a generalization of dynamic meshes methods to inflating or fading volumes. First, we study this scheme for one-dimensional hyperbolic equations. We prove for linear advection that it meets the classical properties of finite-volume methods (maximum principle, decreasing of the global variation, L² stability) under CFL-type constraints. To avoid these restrictions, the temporal integratioin is realized bay an implicite formulation. In the second part of this work, we extend our method to the two space-dimensionnal case. the flow is described by a mathematical momdel given by the Euler equations. Furthermore, we implement this scheme in a way that enables meshes to adapt easily and automatically. For this porpose, we introduce a spring distribution between the mesh nodes, which can be either attractive or repulsive. Node moves result from the achievment of the equilibrium state. Refinement and unrefinement are based on a local criteria, such as the gradient. Finally, we focus on the numerical simulation of fluid-structure interaction phenomena, in the aim of validating our works. the concrete application handled is a compressible flow around in-flight aircraft wing profile.
Le travail présenté dans cette thèse est une contribution au développement des méthodes à maillage dynamique pour la résolution de système d'EDP en mécanique des fluides. Plus précisément, on met au point des schémas de volumes finis pour des maillages non-structurés, mobiles et à topologie éventuellement variable, basés sur la méthode Godunov. L'addition et la soustraction de noeuds reposent sur une généralisation des méthodes à maillage dynamique à des cas de volumes naissants ou disparaissants. Dans une première partie, on se restreint aux équations hyperboliques en une dimension. On montre que pour l'advection linéaire, le schéma satisfait les propriétés classiques des méthodes de volumes finis (principe du maximum, décroissance de la variation totale, stabilité L²) sous certaines contraintes de type CFL. Afin de s'affranchir de ces restrictions, l'intégration en temps du système discrêt est réalisée par une formulation implicite. La seconde partie de ce travail porte sur l'extension des schémas en deux dimensions d'espace. Le modèle mathématique abordé est décrit par les équations d'Euler. Par ailleurs, on cherche à intégrer le schéma dans un code où le maillage s'adapte automatiquement et simplement. On introduit alors une distribution de forces, soit attractives, soit répulsives, entre les noeuds du maillage. Le mouvement des noeuds résulte de l'obtention de l'état d'équilibre sur le domaine. Le raffinement et le déraffinement reposent sur des critères locaux, comme le gradient. Le dernier travail de cette thèse est consacré à la simultation numérique de phénomènes d'interaction fluide-structure afin de valider les algorithmes proposés. L'application concrête visée ici eset m'écoulement compressible autour d'une aile d'avion en mouvement.