Weak and strong solutions of partial differential evolution equations.
Solutions fortes, solutions faibles d'équations aux dérivées partielles d'évolution.
Résumé
We present in the introduction classical properties of weak and strong solutions of partial differential equations. Chapter 2 is dedicated to the study of multipliers and paramultipliers between Sobolev spaces. If the pointwise multiplication operator by a function is bounded from a Sobolev space into another, we say that this function is a multiplier between these spaces. We define likewise paramultipliers by the boundedness of Bony's paraproduct operator. We prove an almost full description of multiplier and paramultiplier spaces. This description is applied in Chapter 3 to the study of the weak-strong uniqueness problem for the Navier-Stokes equation in dimension d > or = 3. It enables us to prove a weak-strong uniqueness theorem which generalizes most known results. We consider in Chapter 4 infinite energy solutions of the two-dimensional Navier-Stokes equation. A theorem of Gallagher and Planchon asserts that a global solution exists if the initial data belong to a critical Besov space ; we extend this result to the case where the initial data belong to @BMO, which seems optimal. We prove in Chapter 5 global existence results for the critical semi-linear wave equation (with polynomial non-linearity), for initial data of infinite energy and arbitrarily large norm. Two methods of non-linear interpolation are employed : the method of Calderon and the method of Bourgain ; they give complementary results. Some classical results are recalled in Chapter 6, and we mention in Chapter 7 some possible further developments.
Nous exposons en introduction quelques généralités sur les solutions fortes et les solutions faibles d'équations aux dérivées partielles. Le chapitre 2 est consacré à l'étude des multiplicateurs et des paramultiplicateurs entre espaces de Sobolev. Si l'opérateur de multiplication ponctuelle par une fonction est borné d'un espace de Sobolev dans un autre, on dit que cette fonction est un multiplicateur entre ces espaces. On définit de même les paramultiplicateurs par le caractère borné de l'opérateur de paraproduit de Bony. Nous prouvons une caractérisation presque complète des espaces de multiplicateurs et de paramultiplicateurs. Cette caractérisation est appliquée dans le chapitre 3 au problème de l'unicité fort-faible pour l'équation de Navier-Stokes en dimension d > ou = 3. Elle nous permet de prouver un théorème d'unicité fort-faible généralisant presque tous les résultats connus. Nous nous intéressons dans le chapitre 4 aux solutions d'énergie inféie de l'équation de Navier-Stokes en dimension 2. Un théorème de Gallagher et Planchon affirme qu'une solution globale existe si la donnée initiale appartient à un espace de Besov critique ; nous étendons ce théorème au cas où u0 appartient @BMO, qui semble optimal. Nous prouvons dans le chapitre 5 des résultats d'existence globale pour l'équation des ondes semi-linéaire critique (avec non-linéarité polynomiale), pour une donnée initiale d'énergie infinie et de norme arbitrairement grande. Deux méthodes d'interpolation non-linéaire sont employées : la méthode de Calderon et la méthode de Bourgain ; elles donnent des résultats complémentaires. Le chapitre 6 est consacré à des rappels, et nous mentionnons dans le chapitre 7 quelques perspectives possibles.
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