Analysis of parabolic/Hamilton-Jacobi systems modelizing the dynamics of dislocation densities inabounded domain
Analyse de systèmes parabolique/Hamilton-Jacobi modélisant la dynamique de densités de dislocations en domaine borné
Résumé
This thesis is concerned with the theoretical study of a mathematical model arising from the study of the dynamics of dislocation densities in crystals of small size. This dynamics is modelized by parabolic/Hamilton-Jacobi nonlinear coupled system. Dislocations are linear defects which move in crystals when those are subjected to exterior stresses. Independently, at the end of the thesis, we present, in a short chapter, a numerical method for the transport of fronts. In this thesis, three types of equations are considered : non-linear first order Hamilton-Jacobi equations, scalar conservations laws, and singular parabolic equations. We treat a singular parabolic/Hamilton-Jacobi system where the singularity appears from the presence of the inverse of the gradient. Our system takes into consideration the short range dislocation-dislocation interactions, as well as the formation of boundary layers. We study the existence, uniqueness and the regularity of the solutions of this system. This study relies essentially on the theory of viscosity solutions; the theory of entropy and classical solutions. Two main cases are considered : the case of zero exterior stresses, and the case of constant exterior stresses (not necessarily zero).
Cette thèse porte sur l'étude théorique d'un modèle mathématique provenant de l'étude de la dynamique de densités, de dislocations dans les cristaux de petite taille. Cette dynamique est modélisée par un système non linéaire couplé parabolique/Hamilton-Jacobi. Les dislocations sont des lignes de défauts qui se déplacent dans les cristaux lorsque ceux-ci sont soumis à des contraintes extérieures. De façon indépendante, tout à la fin de la thèse, nous présentons une méthode numérique pour le transport de fronts. Dans le coeur de la thèse, trois types d'équations sont considérées : équations de Hamilton-Jacobi non linéaires, lois de conservation scalaires, et équations paraboliques singulières. Nous traitons un système parabolique/Hamilton-Jacobi singulier où la singularité apparaît par la présence de l'inverse du gradian. Notre système prend en considération l'effet à courte distance entre dislocations ainsi que la formation des couches limites. Nous étudions l'existence, l'unicité et la régularité des solutions du système. cette étude repose en grande partie sur la théorie des solutions de viscosité ; des solutions entropiques et des solutions classiques. Deux cas principaux sont considérés : le cas où les contraintes extérieures sont nulles, et le cas où elles sont constantes (non nécessairement nulles).