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Green's functions and integral equations for the Laplace and Helmholtz operators in impedance half-spaces
Dans cette thèse on calcule la fonction de Green des équations de Laplace et Helmholtz en deux et trois dimensions dans un demi-espace avec une condition à la limite d'impédance. Pour les calculs on utilise une transformée de Fourier partielle, le principe d'absorption limite, et quelques fonctions spéciales de la physique mathématique. La fonction de Green est après utilisée pour résoudre numériquement un problème de propagation des ondes dans un demi-espace qui est perturbé de manière compacte, avec impédance, en employant des techniques des équations intégrales et la méthode d'éléments de frontière. La connaissance de son champ lointain permet d'énoncer convenablement la condition de radiation dont on a besoin. Des expressions pour le champ proche et lointain de la solution sont données, dont l'existence et l'unicité sont discutées brièvement. Pour chaque cas un problème benchmark est résolu numériquement. On expose étendument le fond physique et mathématique et on inclut aussi la théorie des problèmes de propagation des ondes dans l'espace plein qui est perturbé de manière compacte, avec impédance. Les techniques mathématiques développées ici sont appliquées ensuite au calcul de résonances dans un port maritime. De la même façon, ils sont appliqués au calcul de la fonction de Green pour l'équation de Laplace dans un demi-plan bidimensionnel avec une condition à la limite de dérivée oblique.

2010-05-19
Mathématiques et leurs applications
Ecole Polytechnique
Fonction de Green – Equation de Laplace – Equation de Helmholtz – Problème direct de diffraction des ondes – Condition à la limite d'impédance – Condition de radiation – Techniques d'équations intégrales – Demi-espace avec une perturbation compacte – Méthode d'éléments de frontière – Résonances dans un port maritime – Condition à la limite de dérivée oblique
Green's functions and integral equations for the Laplace and Helmholtz operators in impedance half-spaces
In this thesis we compute the Green's function of the Laplace and Helmholtz equations in a two- and three-dimensional half-space with an impedance boundary condition. For the computations we use a partial Fourier transform, the limiting absorption principle, and some special functions that appear in mathematical physics. The Green's function is then used to solve a compactly perturbed impedance half-space wave propagation problem numerically by using integral equation techniques and the boundary element method. The knowledge of its far field allows stating appropriately the required radiation condition. Expressions for the near and far field of the solution are given, whose existence and uniqueness are briefly discussed. For each case a benchmark problem is solved numerically. The physical and mathematical background is extensively exposed, and the theory of compactly perturbed impedance full-space wave propagation problems is also included. The herein developed mathematical techniques are then applied to the computation of harbor resonances in coastal engineering. Likewise, they are applied to the computation of the Green's function for the Laplace equation in a two-dimensional half-plane with an oblique-derivative boundary condition.
Green's function – Laplace equation – Helmholtz equation – Direct scattering problem – Impedance boundary condition – Radiation condition – Integral equation techniques – Compactly-perturbed half-space – Boundary element method – Harbor resonances – Oblique-derivative boundary condition
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