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Simulation numérique directe en différence finie de l'écoulement d'un fluide incompressible en présence d'interfaces rigides
Le développement de méthodes numériques pour simuler les équations de Navier-Stokes en présence de parois rigides est un sujet en très actif. Si la littérature abonde de résultats de convergence et de stabilité, les méthodes à pas fractionnaire introduisent très généralement, des erreurs de couche limite pour la pression. Ce problème, déjà présent près de parois conformes à la discrétisation, devient particulièrement critique près de parois non-conformes, une situation que l'on rencontre dès que l'on souhaite s'affranchir de toute forme de remaillage avec des objets mobiles, par exemple. L'objectif de cette thèse est de résoudre les équations de Navier-Stokes incompressible pour obtenir avec précision le champ de vitesse et le champ de pression par une méthode de différence finie. Cette question nous a conduit à reformuler le problème de Stokes instationnaire à deux dimensions à l'aide de la fonction courant psi et d'une fonction phi conjuguée de la pression. Nous avons implémenté une première méthode pour traiter le problème de Stokes dans cette représentation. Le développement d'un schéma original pour résoudre le problème de Poisson-Neumann en domaine irrégulier, nous a permis de proposer une seconde méthode de résolution du problème de Stokes incompressible dans une formulation plus classique, Pression-vitesse-vorticité. Ces deux types d'algorithmes permettent d'obtenir une convergence d'ordre 2 en espace pour tous les champs du problème.

2009-12-01
Science des matériaux, mécanique, génie mécanique
Ecole des Ponts ParisTech
SND – écoulement incompressible – méthode des différences finies – méthode Level-Set
Direct numerical simulation of incompressible flows in the presence of rigid interfaces with finite difference schemes
The development of numerical methods to simulate the Navier-Stokes' equations with rigid boundaries is a very active topic. While literature abounds with convergence and stability results, fractional step methods are known to introduce numerical boundary layers errors in the pressure. This problem already presents at conforming boundaries and becomes particularly critical near boundaries with non-conforming mesh, a situation which occurs when we want to be independent from any form of remeshing with moving objects, for example. The purpose of this thesis is to solve the incompressible Navier-Stokes equations with accurate velocity and pressure fields by a finite difference method. This question led us to reformulate the non-stationary Stokes problem in two dimensions using the streamfunction psyand a function phi conjugated to pressure. We have implemented a first method for solving the Stokes problem in this representation. We have also developed an original scheme to solve the Poisson Neumann problem in a irregular domain, and proposed a second method in order to solve the incompressible Stokes Problem in a more conventional formulation pressure-velocity-vorticity. Both types of algorithms gives us a convergence of order 2 in space for all fields of the problem.
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