Volatility dynamics

Dynamiques de volatilite

David Nicolay (1)

1 CMAP - Centre de Mathématiques Appliquées - Ecole Polytechnique

We establish asymptotic links between two classes of stochastic volatility models describing the same derivative market : - a generic stochastic instantaneous volatility (SInsV) model, whose SDE system is a formal Wiener chaos without any specified state variable. - a sliding stochastic implied volatility (SImpV) class, another market model describing explicitly the joint dynamics of the underlying and of the associated European option surface. Each of these connections is achieved by layer, between a group of SInsV coefficients and set of (static and dynamic) SImpV differentials. The asymptotic approach leads to these cross-differentials being taken at the zero-expiry, At-The-Money point. We progress from a simple single-underlying and bi-dimensional setup, first to a multi-dimensional configuration, and then to a term-structure framework. We expose the structural modelling constraints and the asymmetry between the direct problem (from SInsV to SImpV) and the inverse one. We show that this Asymptotic Chaos Expansion (ACE) methodology is a powerful tool for model design and analysis. Focusing on local volatility models and their extensions, we compare ACE with the literature and exhibit a systematic bias in Gatheral's heuristics. In the multi-dimensional context we focus on stochastic-weights baskets, for which ACE provides intuitive results underlining the embedded induction. In the interest rates environment, we derive the first layer of smile descriptors for caplets, swaptions and bond options, within both a SV-HJM and a SV-LMM framework. Also, we prove that ACE can be automated for generic models, at any order, without formal calculus. The interest this algorithm is demonstrated by computing manually the 2nd and 3rd layers, in a generic bi-dimensional SInsV model. We present the applicative potential of ACE for calibration, pricing, hedging or relative value purposes, illustrated with numerical tests on the CEV-SABR model.

Nous établissons les liens asymptotique entre deux catégories de modèles à volatilité stochastique décrivant le même marché dérivé: - un modèle générique à volatilité stochastique instantanée (SInsV) , dont le système d'EDS est un chaos de Wiener formel, spécifié sans aucune variable d'état. - une classe à volatilité implicite stochastique glissante (SImpV), qui est un autre modèle de marché, décrivant explicitement la dynamique conjointe du sous-jacent et de la surface d'options Européennes associées. Chacune de ces connexions est atteinte couche par couche, entre un groupe de coefficients SInsV et un ensemble de differentielles SImpV (statiques et dynamiques). L'approche asymptotique conduit à ce que ces différentielles croisees soient prises à l'expiration zéro, au point ATM. Nous progressons d'une configuration simple, bi-dimensionnelle à sous-jacent unique, d'abord vers une configuration multi-dimensionnelle, puis vers un cadre à structure par terme. Nous exposons les contraintes structurelles de modélisation et l'asymétrie entre le problème direct (de SInsV vers SImpV) et inverse. Nous montrons que cette expansion asymptotique en chaos (ACE) est un outil puissant pour la conception et l'analyse de modèles. En se concentrant sur des modèles à volatilité locale et leurs extensions, nous comparons ACE avec la littérature et exhibons un biais systématique dans l'heuristique de Gatheral. Dans le contexte multi-dimensionnel, nous nous concentrons sur des paniers à poids stochastiques, pour lesquels ACE fournit des résultats intuitifs soulignant la recurrence naturelle. Dans l'environnement des taux d'intérêt, nous etablissons la première couche de descripteurs du smile pour les caplets, les swaptions et les options sur obligations, à la fois dans un cadre SV-HJM et un cadre SV-LMM. En outre, nous montrons que ACE peut être automatisé pour des modèles génériques, à n'importe quel ordre, sans calcul formel. L'intérêt de cet algorithme est démontré par le calcul manuel des 2eme et 3eme couches, dans un modèle générique SInsV bi-dimensionnel. Nous présentons le potentiel applicatif d'ACE pour la calibration, l'evaluation, la couverture ou à des fins d'arbitrage, illustré par des tests numériques sur le modèle CEV-SABR.

Mots clés: Implied volatility; stochastic volatility; stochastic implied volatility; asymptotics; calibration; hedging; smile; Asymptotic Chaos Expansions; ACE

Mots clés: Volatilite implicite; volatilite stochastique; volatilite implicite stochastique; asymptotiques; couverture

Domaines: Finance quantitative [q-fin.CP]

David Nicolay. Volatility dynamics. Computational Finance [q-fin.CP]. Ecole Polytechnique X, 2011. English. ⟨NNT : ⟩. ⟨pastel-00600106⟩