Floer cohomology, symplectic and almost-complex hyperbolicities - Archive ouverte HAL Access content directly
Theses Year : 2008

Floer cohomology, symplectic and almost-complex hyperbolicities

Cohomologie de Floer, hyperbolicités symplectique et pseudocmplexe.

(1)
1

Abstract

On one side, from the properties of Floer cohomology, invariant associated to a symplectic manifold, I define and study a notion of symplectic hyperbolicity and a symplectic capacity measuring it. On the other side, the usual notions of complex hyperbolicity can be straightforwardly generalized to the case of almost-complex manifolds by using pseudoholomorphic curves. That's why I study the links between these two notions of hyperbolicities when a manifold is provided with some compatible symplectic and almost-complex structures. I mainly explain how the non-symplectic hyperbolicity implies the existence of pseudoholomorphic curves, and so the non-complex hyperbolicity. Thanks to this analysis, I could both better understand the Floer cohomology and get new results on almost-complex hyperbolicity. I notably prove results of stability for non-complex hyperbolicity under deformation of the almost complex structure among the set of the almost-complex structures compatible with a fixed non-hyperbolic symplectic structure, thus generalizing Bangert theorem that gave this same result in the special case of the standard torus. Moreover, I tackle the issue of complex hyperbolicity of foliations: through the introduction of an invariant tensor associated to the foliation, I study the existence of foliated holomorphic cylinder.
D'une part, á partir des propriétés de la cohomologie de Floer, invariant associé á une variété symplectique, je définis et étudie une notion d'hyperbolicité symplectique et une capacité symplectique la mesurant. D'autre part, pour une variété , on dispose des notions classiques d'hyperbolicités complexes, définies à partir des courbes pseudo-holomorphes. J'étudie donc les liens entre ces deux notions d'hyperbolicités quand une variété est munie de structures pseudo-complexe et symplectique compatibles. J'explique principalement comment la non-hyperbolicité symplectique implique l'existence de courbes pseudo-holomorphes, et donc ainsi la non-hyperbolicité complexe. Cette analyse me permet à la fois de mieux comprendre la cohomologie de Floer, et d'obtenir de nouveaux résultats sur l'hyperbolicité complexe. J'établis notamment des résultats de stabilité pour la non-hyperbolicité complexe par déformation de la structure pseudo-complexe dans l'ensemble des structures pseudo-complexes compatibles à une structure symplectique non-hyperbolique fixée, généralisant ainsi un théorème de Bangert énoncant ce même résultat dans le cas particulier du tore standard. Par ailleurs, j'aborde la question de l'hyperbolicité complexe des feuilletages: en exhibant un tenseur invariant associé au feuilletage, j'étudie l'existence de cylindres holomorphes feuilletés.
Fichier principal
Vignette du fichier
Biolley_web.pdf (4.38 Mo) Télécharger le fichier

Dates and versions

pastel-00000702 , version 1 (21-07-2010)

Identifiers

  • HAL Id : pastel-00000702 , version 1

Cite

Anne-Laure Biolley. Cohomologie de Floer, hyperbolicités symplectique et pseudocmplexe.. Mathématiques [math]. Ecole Polytechnique X, 2008. Français. ⟨NNT : ⟩. ⟨pastel-00000702⟩
988 View
469 Download

Share

Gmail Facebook Twitter LinkedIn More