Multifractal processes in finance and pricing of options by minimisation of extremal risks.
Processus multifractals en finance et valorisation d'options par minimisation de risques extrêmes.
Abstract
In a first part, after having recalled the main characteristics of financial time series, and especially the existence of long range non-linear correlations and of a persistent asymmetry, we show the relevance of multifractal processes for the modelling of such stylised facts. The constructions recently proposed in the literature remain however exclusively symmetric and we show how to introduce asymmetry in these models without losing their scaling laws. It is then possible to catch the phenomenon of volatility smile. In a second part we propose a numerical method for the pricing and hedging of options in incomplete markets. Furthermore our algorithm can be easily extended to take into account other market imperfections like transaction costs.
Dans une première partie, après avoir rappelé les principales caractéristiques statistiques des séries financières, en particulier l'existence de corrélations non linéaires à longue portée et d'une asymétrie fortement persistante, nous mettons en évidence la pertinence des processus multifractals pour la modélisation de ces faits stylisés. Les constructions récemment proposées dans la littérature demeurent cependant exclusivement symétriques et nous montrons comment introduire de l'asymétrie dans ces modèles sans sacrifier leurs propriétés d'échelle. Il est alors possible de rendre compte du phénomène de smile de volatilité. Dans une deuxième partie, nous proposons une méthode numérique pour la valorisation et la couverture d'options en marché incomplet. Notre algorithme peut en outre être généralisé sans difficulté pour tenir compte d'autres imperfections du marché comme les frais de transaction.