Vanishing Viscosity in two-dimensional Fluid Mechanics Equations.
Viscosité évanescente dans les équations de la mécanique des Fluides bidimensionnels.
Résumé
My thesis is devoted to the study of some problems related to the stability of the vortex patches structures in the two-dimensional incompressible Navier-Stokes equations. In the first chapter we prove, in particular, that if the initial vorticity is the characteristic function of a bounded domain (vortex patch) whose boundary is $C^{1+EE}$ (Hölderian spaces), then its image through the viscous flow preserves for all time this regularity. We show in the second chapter that the viscous vorticity goes strongly in $L^p$ to the Eulerian one in the case of initial vortex patches with a boundary having a null measure. The last chapter generalizes for the Navier-Stokes system a result due to J.-Y. Chemin, concerning the singular vortex patches. We prove that if the boundary of the initial vortex patch is regular outside a closed set, then its image through the viscous flow is regular outside the image of the singular set. We also prove that the Navier-Stokes solution is Lipschitzian far from this set, with uniform estimates in terms of the viscosity.
Ma thèse est consacrée à l'étude de quelques problèmes liés à la stabilité des structures de poches de tourbillon dans les équations de Navier-Stokes incompressibles 2D. Dans le premier chapitre on démontre en particulier que si l'on se donne à l'instant initial un tourbillon valant l'indicatrice d'un domaine borné dont le bord est de classe $C^{1+EE}$ (espace de Hölder), alors son transporté par le flot visqueux préserve en tout temps cette régularité. Dans le deuxième chapitre, on montre que dans le cas des données de type poches de tourbillon à bord de mesure nulle, le tourbillon visqueux converge fortement en norme $L^p$ vers le tourbillon eulérien. Le dernier chapitre est une généralisation pour le système de Navier-Stokes d'un résultat obtenu par J.-Y. Chemin dans le cadre eulerien et concernant les poches de tourbillon singulières. On démontre que si le bord de la poche de tourbillon est régulier en dehors d'un ensemble fermé, alors son transporté par le flot visqueux est régulier en dehors de l'image par le flot de l'ensemble singulier. On prouve également qu'en dehors de cet ensemble la solution du système de Navier-Stokes est lipschitzienne avec un contrôle indépendant de la viscosité.