Laplacian Transport towards Irregular Interfaces:a Theoretical, Numerical and Experimental Study.
Transport Laplacien aux interfaces irrégulière : Etude théorique, numérique et expérimentale.
Résumé
The primary objective of the thesis is to develop a theoretical approach of the various Laplacian transfer phenomena towards irregular interfaces: stationary diffusion through semi-permeable membranes, electric transport towards non blocking electrodes (in an electrolyte), heterogeneous catalysis on catalytic surfaces. The influence of an irregular geometry, crucial for these phenomena, can be fully taken into account using a mathematical operator called Dirichlet-to-Neumann operator. Its spectral properties completely determine the linear response of the system in question. An extensive numerical study of different aspects of the Laplacian transfer towards irregular interfaces, modelled by deterministic or stochastic Koch boundaries, has led us to numerous results. Most importantly, it has been established that the proportion of eigenmodes of the Dirichlet-to-Neumann operator contributing to the impedance of the interface is very low. It has been shown that its eigenvalues can be interpreted as the inverses of characteristic lengths of the boundary. An analytical model of the impedance of self-similar fractals was developed. In particular, this model is based on a hierarchy of characteristic scales of the boundary and allows to study finite generations (prefractals) of arbitrarily high order. The fast random walk algorithm has been adapted to Koch boundaries in order to study the density of the harmonic measure which represents the distribution of hitting probabilities (analog of the primary current in electrochemistry). Its multifractal dimensions have been computed with a very high accuracy using a conjectured extension of the logarithmic development of local multifractal exponents for regular fractals. At last, the experimental study of Koch electrodes showed that our theoretical approach allows to take into account the geometrical irregularity without specific knowledge of the microscopic transport mechanism. This result opens a new branch of possible applications, in electrochemistry or in other fields.
L'objectif premier de cette thèse est le développement d'une approche théorique des divers phénomènes de transport laplacien aux interfaces irrégulières: diffusion stationnaire à travers des membranes semi-perméables, transport électrique vers une électrode non bloquante dans un électrolyte, catalyse hétérogène sur une surface catalytique. L'influence de l'irrégularité géométrique, qui joue un rôle primordial dans ces phénomènes, peut être intégralement prise en compte à l'aide d'un opérateur purement mathématique, dit opérateur de Dirichlet-Neumann. Ses propriétés spectrales déterminent complètement la réponse linéaire d'un système considéré. Une étude numérique approfondie des différents aspects du transport laplacien aux interfaces irrégulières, modélisées ici par des frontières de Von Koch déterministes ou stochastiques, a apporté de nombreux résultats dont les plus importants sont: mise en évidence de la très faible proportion de modes propres de l'opérateur de Dirichlet-Neumann contribuant à l'impédance de la frontière, interprétation des valeurs propres de cet opérateur comme inverses des longueurs caractéristiques de l'interface, déduction d'un modèle analytique de l'impédance. En particulier, le modèle mathématique développé, qui exploite la hiérarchie des échelles caractéristiques, permet d'étudier des préfractales d'ordre très élevé. L'étude numérique de la mesure harmonique, dont la densité représente les probabilités de premier contact (analogue du courant primaire en électrochimie), a d'ailleurs permis de mettre au point une méthode de marches aléatoires rapides adaptées aux frontières de Von Koch considérées et de déterminer les dimensions multifractales avec une très bonne précision. Enfin, l'étude expérimentale avec une électrode de Von Koch a montré que cette approche théorique permet de prendre en compte l'irrégularité géométrique sans connaître le mécanisme de transport microscopique, ce qui ouvre toute une nouvelle branche d'applications possibles en électrochimie ou dans d'autres domaines.
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