A priori and a posteriori error analysis of mixed and non-conforming finite element methods
Analyse d'erreur a priori et a posteriori pour des méthodes d'éléments finis mixtes non-conformes
Résumé
In this thesis we present a priori and a posteriori error analysis of mixed and nonconforming fnite element methods. In particular, we consider the Darcy equations with variable permeability and the convection-diffusion-reaction equation in the convection-dominated regime. We discretize the Darcy equations by the mixed nonconforming Petrov-Galerkin method known as the finite volume box scheme. Residual and hierarchical techniques lead to reliable and efficient a posteriori error estimators which are applicable no matter the variation of the permeability. Finally, we present numerical results which conform the theory and we use the error indicators obtained to generate adaptive meshes. We discretize the convection-diffusion-reaction equations by nonconforming finite elements. We investigate two different methods of stabilization: the subgrid method, leading to a finite volume box scheme and the face penalty method. We prove that the derived schemes have the same convergence properties as conforming finite element approximations. Owing to the residual a posteriori error estimation techniques we obtain reliable and efficient a posteriori error estimators. Some of these estimators are robust in the sense defined by Verfürth, where the estimates are optimal if the local Peclet number is sufficiently small. Finally, to numerically illustrate the theory we consider test cases with an interior layer and we use the error indicators to generate adaptive meshes.
Dans cette thèse nous nous intéressons à l'analyse d'erreur a priori et a posteriori de méthodes d'éléments finis mixtes et non-conformes. Nous considérons en particulier les équations de Darcy à perméabilité fortement variable et les équations de convection-diffusion-réaction en régime de convection dominante. Nous discrétisons les équations de Darcy par une méthode d'éléments finis mixtes non-conformes de type Petrov-Galerkin appelée schéma boîte. Les techniques d'estimations d'erreur a posteriori par résidu et hiérarchique conduisent à des estimateurs d'erreur a posteriori fiables et optimaux indépendamment des fluctuations de la perméabilité. Les résultats théoriques sont validés numériquement sur différents cas tests présentant de forts contrastes de perméabilité. Enfin, nous montrons comment les indicateurs d'erreur obtenus permettent de générer des maillages adaptatifs. Nous discrétisons les équations de convection-diffusion-réaction par des éléments finis nonconformes. Deux méthodes de stabilisation sont étudiées: la stabilisation par viscosité de sous-maille, conduisant à un schéma boîte et la méthode de pénalisation sur les faces. Nous montrons que les deux schémas ainsi obtenus ont les mêmes propriétés de convergence que les approximations par éléments finis conformes. Grâce aux techniques d'estimations d'erreur par résidu nous obtenons des estimateurs d'erreur a posteriori fiables et optimaux. Certains des indicateurs d'erreur sont robustes au sens de Verfürth, c'est à dire que le rapport des constantes intervenant dans les inégalités de fiabilité et d'optimalité explose en au plus l'inverse du nombre de Péclet. Les résultats théoriques sont validés numériquement et les indicateurs d'erreur a posteriori obtenus permettent de générer des maillages adaptatifs sur des problèmes présentant des couches intérieures.
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