Rare event in networks.
Evènements rares dans les réseaux.
Résumé
In this thesis, we study rare events in communication networks. We first introduce the class of monotone separable networks which will allow us to analyse networks regardless to their dimension. We will in particular apply our theory to (max,plus)-linear networks and to gene! ralized Jackson networks. The first step consists in understanding the dynamic of these networks. We describe their fluid limit and relate it to their stability condition. We construct the stationary version of their state variables. The sample-path study allows us to understand the stochastic behaviour of the network. We compute the asymptotics of the probability of rare events (that tends to 0) and describe "how" these events occur. We show that the behaviour of the network is quite different depending on the stochastic assumptions made on the distribution of the service time. In the case of subexponential distributions, one big service time is responsible for the rare event whereas in the light-tailed case, the rare event is due to many unusually long service times. These heuristics are made precise in the computation of the probability of the given event. We also study thanks to fractional Brownian motion. The impact of long range dependence on the performance of a (max,plus)-linear network.
Nous nous intéressons dans cette thèse à l'étude d'événements rares dans des réseaux de communications. Dans un premier temps, nous introduisons la classe des réseaux monotones séparables qui nous permettra une analyse systématique de réseaux de grande dimension. Parmi ceux-ci, nous appliquerons notre théorie en détail aux réseaux (max,plus)-linéaires et aux réseaux de Jackson généralisés. La première étape de notre étude consiste à comprendre la dynamique de ces réseaux. Nous décrivons leur comportement fluide, ce qui permet d'écrire les conditions de stabilité du réseau et de construire les variables d'état dans leur régime stationnaire. L'étude trajectorielle du réseau nous permet ensuite de comprendre le comportement aléatoire du réseau. Nous calculons les asymptotiques des probabilités d'événements rares (dont la probabilité tend vers 0) et décrivons "comment" ces événements se produisent. Nous montrons que le "comportement" du réseau est radicalement différent selon les hypothèses probabilistes faites sur les temps de service. Dans le cas de distributions sous-exponentielles, l'événement rare est dû à un unique grand service qui bloque une station du réseau tandis que dans le cas de distributions à queue exponentielle, l'événement rare est dû à une conjonction de nombreux temps de services anormalement longs. Ces heuristiques sont rendues précises par les calculs des probabilités considérées. Dans un dernier temps, nous considérons un cas intermédiaire et étudions l'impact d'une structure de dépendance entre les différents temps de service grâce au mouvement Brownien fractionnaire.
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