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Theses Year : 2006

Probabilistic modeling in finance and biology - Limit theorems and applications

Modélisation probabiliste en finance et en biologie - Théorèmes limites et applications

Julien Guyon

Abstract

In this PhD dissertation, I strove to propose a both precise and handy probabilistic modeling in some areas of finance and biology. The first chapter details my goals and objectives. It sums up the main results of my research compare them to existing works and suggest possible extensions. In Chapter 2, after the articles of Talay and Tubaro (1990) and Bally and Talay (1996), I mesure the error one commits when one approaches the law of the solution of a stochastic differential equation by that of its Euler scheme. Under an ellipticity hypothesis, a joint use of probabilistic and analytic techniques leads me to a functional expansion of the "transition kernel" of the Euler scheme, in powers of the time step, in spaces of smooth gaussian-like functions. This result naturally applies to financial mathematics. It gives the rate of convergence of the prices, deltas and gammas of European options for an extremely wide range of payoffs. In Chapter 3, I analyse a stochastic volatility model proposed by Fouque, Papanicolaou and Sircar (2000). The results in Chapter 2 allow me to build a pricing and hedging algorithm for European options which adaptively guarantees the balance between the statistical error, due to Monte Carlo sampling, and the time discretization error. The last chapter deals with cellular aging and results from a cooperation with biologists from the Faculté de Médecine Necker in Paris. The experimental data consists of a binary tree of growth rates from which my colleagues wish to detect two subpopulations. To explain this data, I propose a bifurcating autoregressive model generalizing that of Cowan and Staudte (1986) and then build and implement statistical procedures to estimate parameters and test biological hypothesis. To this end, I introduce the concept of "bifurcating Markov chains" and I prove that such stochastic processes satisfy original limit theorems which I apply to the model and the data, confirming the intuition and the preliminary computations of the biologists.
C'est le souci d'une modélisation mathématique à la fois précise et maniable qui constitue le dénominateur commun à ces travaux de thèse. Nous nous sommes en particulier intéressés à deux champs d'application des probabilités les marchés financiers et la biologie. Le premier chapitre détaille nos motivations. Il résume nos principaux résultats, les compare aux travaux existants et suggère des extensions possibles. Au deuxième chapitre, suite aux articles de Talay et Tubaro (1990) et Bally et Talay (1996), nous mesurons l'erreur que l'on commet lorsque l'on approche la loi de la solution d'une équation différentielle stochastique par celle de son schéma d'Euler. Sous hypothèse d'ellipticité, l'utilisation conjointe de techniques probabilistes et analytiques nous permet d'obtenir un développement limité fonctionnel, dans des espaces de fonctions très régulières de type noyau gaussien, du "noyau de transition" du schéma d'Euler, en fonction du pas de temps de discrétisation. Ce résultat trouve une application naturelle en mathématiques financières. Il donne la vitesse de convergence des prix, deltas et gammas d'options européennes pour une classe extrêmement large de payoffs. Il nous permet aussi de construire, au chapitre 3, dans l'analyse d'un modèle à volatilité stochastique proposé par Fouque, Papanicolaou et Sircar (2000), un algorithme d'évaluation et de couverture des options européennes dans lequel l'équilibre entre l'erreur statistique, due à l'échantillonnage "Monte-Carlo", et l'erreur de discrétisation temporelle est assuré de manière adaptative. Enfin, le dernier chapitre a pour thème le vieillissement cellulaire et est le fruit d'une coopération avec des biologistes de la Faculté de Médecine Necker à Paris. Les données expérimentales se présentent sous forme d'un arbre binaire de taux de croissance, à partir duquel nos collègues biologistes souhaitent détecter deux sous populations. Pour expliquer ces données, nous proposons un modèle autorégressif avec bifurcation, généralisant celui proposé par Cowan et Staudte en 1986, puis construisons et implémentons des procédures permettant d'estimer des paramètres et de tester des hypothèses biologiques. Pour ce faire, nous introduisons le concept de "chaînes de Markov bifurcantes", prouvons que cette famille de processus stochastiques satisfait des théorèmes limites originaux que nous appliquons au modèle et confrontons aux données, confirmant l'intuition et les calculs préliminaires des biologistes.
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Dates and versions

pastel-00001995 , version 1 (07-11-2006)

Identifiers

  • HAL Id : pastel-00001995 , version 1

Cite

Julien Guyon. Probabilistic modeling in finance and biology - Limit theorems and applications. Mathematics [math]. Ecole des Ponts ParisTech, 2006. English. ⟨NNT : ⟩. ⟨pastel-00001995⟩
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