Max-Plus decomposition of supermartingales and convex order. Application to American options and Portfolio insurance. - Archive ouverte HAL Access content directly
Theses Year : 2006

Max-Plus decomposition of supermartingales and convex order. Application to American options and Portfolio insurance.

Decomposition Max-Plus des surmartingales et ordre convexe. Application aux options Americaines et a l'assurance de portefeuille.

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Abstract

We are concerned with a new type of supermartingale decomposition in the Max-Plus algebra, which essentially consists in expressing any quasi-left-continuous supermartingale of class (D) as a conditional expectation of some running supremum process. As an application, we show how the Max-Plus supermartingale decomposition allows in particular to solve the American optimal stopping problem without having to compute the option price. Some illustrative examples based on one-dimensional diffusion processes are then provided. Another interesting application concerns the portfolio insurance. In fact, using the Max-Plus supermartingale decomposition, we suggest a new approach to the classic utility maximization problem with American constraints. To do so, we transform the problem into a constrained martingale one, whose aim is to dominate an obstacle, or equivalently its Snell envelope on every intermediate date. The optimization is performed with respect to the stochastic convex order on the terminal value, which avoids any arbitrary assumption regarding the form of the agent's utility function. The "Max-Plus martingale" is shown to be optimal and this is illustrated by an explicit example based on the geometric Brownian motion. Furthermore, we exploit the links between the Azéma-Yor martingales and the Max-Plus decomposition to solve some portfolio optimization problems with state constraints and some ones related to perpetual American options. In particular, most of the classic results concerning the American boundaries of Lévy processes are shown in an elementary way. The last chapter is devoted to the pricing of Swing options, using new numerical methods.
Nous établissons une nouvelle décomposition des surmartingales, additive dans l'algèbre Max-Plus. Elle consiste essentiellement à exprimer toute surmartingale quasi-continue à gauche de la classe (D) comme une espérance conditionnelle d'un certain processus de running supremum. Comme application, nous montrons comment la décomposition Max-Plus permet en particulier de résoudre le problème Américain d'arrêt optimal sans avoir à calculer le prix de l'option. Ensuite, nous donnons quelques exemples illustratifs basés sur des processus de diffusion uni-dimensionnels. Une autre application intéressante concerne l'assurance de portefeuille. Nous proposons en effet une nouvelle approche au problème classique de maximisation d'utilité, avec garantie Américaine. Pour cela, nous nous ramenons à un problème général de martingales, sous contrainte de dominer un obstacle, ou de façon équivalente son enveloppe de Snell, à toute date intermédiaire. L'optimisation est relative à l'ordre convexe sur la valeur terminale, de manière à minimiser le rôle de la fonction d'utilité. Nous montrons l'optimalité de la "martingale Max-Plus" et nous traitons un exemple explicite dans le cadre d'un Brownien géométrique. Par ailleurs, nous exploitons les liens entre les martingales d'Azéma-Yor et la décomposition Max-Plus pour résoudre certains problèmes d'optimisation de portefeuille sous contraintes d'état et d'autres relatifs aux options Américaines perpétuelles. Nous retrouvons en particulier, d'une manière élémentaire, la plupart des résultats classiques sur les frontières Américaines de processus de Lévy. Le dernier chapitre propose de nouvelles méthodes numériques pour valoriser les contrats Swing.
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pastel-00002177 , version 1 (29-07-2010)

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Cite

Asma Meziou. Decomposition Max-Plus des surmartingales et ordre convexe. Application aux options Americaines et a l'assurance de portefeuille.. Mathématiques [math]. Ecole Polytechnique X, 2006. Français. ⟨NNT : ⟩. ⟨pastel-00002177⟩
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