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Theses Year : 2007

Combinatorics of planar maps and algorithmic applications.

Combinatoire des cartes planaires et applications algorithmiques.

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Abstract

This thesis describes algorithms on planar maps (graphs embedded in the plane without edge-crossings) based on their combinatorial properties. For several important families of planar maps (3-connected, triangulations, quadran- gulations), efficient procedures of random generation, encoding, and straight-line drawing are described. In particular, the first optimal encoder for the combinatorial incidences of polygonal meshes with spherical topology is developed. Starting from a generator for 3-connected maps, a new random generator for planar graphs is in- troduced. The complexity of generation is the best currently known: quadratic (in expectation) for exact-size sampling and linear (in expectation) for approximate- size sampling. Finally, several straight-line drawing algorithms for planar maps are introduced. The procedures are both simple to describe and very efficient, yielding the best known grid size for two families of maps: triangulations of the 4-gon with no filled 3-cycle —called irreducible— and quadrangulations. The algo- rithms presented in the thesis take advantage of several combinatorial structures on planar maps (orientations, partitions into spanning trees) as well as new bijective constructions
Cette these traite de l'algorithmique des cartes planaires (graphes dessines dans le plan sans intersection d'aretes) et propose des procedures efficaces pour le codage, la generation aleatoire, et le dessin de plusieurs familles importantes: 3-connexes, triangulations, quadrangulations... En particulier, on decrit le premier algorithme optimal de codage des incidences faces-aretes-sommets des maillages polygonaux de topologie spherique, qui atteint la borne inferieure de 2bits par arete. En partant d'un generateur de cartes 3-connexes, on developpe un nouveau generateur aleatoire uniforme de graphes planaires dont la complexite est la meilleure connue actuellement: quadratique (en esperance) en taille exacte et lineaire (en esperance) en taille approchee. Enfin, on donne plusieurs algorithmes de dessin en lignes droites (aretes representees par des segments) de cartes planaires sur la grille. Les procedures de dessin sont a la fois tres simples a decrire et donnent les meilleures performance (en probabilite) pour le dessin de deux familles de cartes: les triangulations du carre sans 3-cycle rempli —dite irreductibles— et les quadrangulations. Pour developper les algorithmes presentes dans la these, on exploite plusieurs structures combinatoires sur les cartes (orientations specifiques, partitions en arbres couvrants...) ainsi que de nouvelles constructions bijectives.

Keywords

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Dates and versions

pastel-00002931 , version 1 (27-07-2010)

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  • HAL Id : pastel-00002931 , version 1

Cite

Fusy Eric. Combinatorics of planar maps and algorithmic applications.. Computer Science [cs]. Ecole Polytechnique X, 2007. English. ⟨NNT : ⟩. ⟨pastel-00002931⟩
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