Phase field modelling of polycritaline materials.
Modélisation de la croissance de matériaux polycristallins par la méthode du champ de phase.
Résumé
The phase-field method has become in recent years the method of choice to model microstructural pattern formation during solidification. For monocrystals, quantitative agreement with experiments and analytical solutions has been obtained. The modeling of polycrystals, which consist of many grains of the same thermodynamic phase, but different orientations of the crystalline lattice, is far less advanced. Two types of models have been proposed: multi-phase-field models use a separate phase field for each grain, and orientation-field models use a small number of fields, but have non-analytical terms in their free energy functional. This work examines various aspects of phase-field modeling of polycrystals and is divided in three parts. In the first, a new possibility of describing the local orientation is explored, using a tensorial order parameter which represents automatically the local symmetry of the system. This approach is tested by developing a phase-field model for the nematic-isotropic phase transition in liquid crystals. The model is applied to simulate the directional ''solidification'' of a liquid crystal. The effect of the coupling between nematic orientation and the interface shape is investigated. The simulation results for the stability of a planar interface agree well with a generalized stability analysis, which takes into account a new anchoring condition at the interface: the nematic orientation at the interface is the result of the interplay between bulk deformation and interface anisotropy. The shape and stability of well-developed cells is also influenced by this effect. Numerically, the use of a tensorial order parameter simplifies the treatment of the symmetries in the system significantly, while the equations of motions become considerably more complicated. In the second part, grain boundaries are investigated on a smaller length scale, using a phase field crystal model, where elastic properties and dislocations appear naturally. With this model, the local order in interfaces is examined and the stability of liquid films between two solid grains is studied below the melting point. This situation can be described by an interaction potential between the two solid-liquid interfaces, which is extracted numerically. The results are compared with a phenomenological model which is found to hold for high-angle grain boundaries, where the dislocations overlap. For low-angle grain boundaries, premelting around dislocation as well as a symmetry breaking (dislocations form pairs) is observed. As a result, the interaction potential becomes nonmonotonous, and consists of a long-range attraction and a short-range repulsion. In the third part, a new phase-field model is developed using an angle variable to describe the crystalline orientation. Contrary to the already existing models, the free energy is constructed without a term proportional to the modulus of the gradient of the orientation field. Instead, the standard squared gradient is used, but it is coupled to the phase field with a singular coupling function. Various benchmark simulations are carried out to test the model. It is found that it presents several artifacts such as spurious grain rotation and interface motion; however, these effects are extremely small, such that the model yields satisfactory results unless the undercooling is very small. Finally, the observed problems are analyzed and ways of obtaining a better description of the dynamics of the angle field are discussed.
La méthode d'élimination sur le terrain est devenu ces dernières années la méthode de choix pour modéliser la formation des motifs de la microstructure lors de la solidification. Pour monocristaux, accord quantitatif avec des expériences et des solutions analytiques ont été obtenues. La modélisation des polycristaux, qui sont composées de nombreux grains d'une même phase thermodynamique, mais différentes orientations du réseau cristallin, est beaucoup moins avancée. Deux types de modèles ont été proposés: les modèles multi-phase-champ d'utiliser un champ de phase pour chaque grain, et les modèles d'orientation-champ d'utiliser un petit nombre de domaines, mais ont des termes non analytiques dans leur énergie libre fonctionnel. Ce travail examine les divers aspects de la phase de modélisation du champ de polycristaux et est divisé en trois parties. Dans la première, une nouvelle possibilité de décrire l'orientation locale est explorée, en utilisant un paramètre d'ordre tensoriel qui représente automatiquement la symétrie locale du système. Cette approche est testée en phase de développement d'un modèle de champ pour la transition de phase nématique-isotrope dans les cristaux liquides. Le modèle est appliqué pour simuler la solidification directionnelle''''d'un cristal liquide. L'effet du couplage entre l'orientation et la forme nématique interface est étudiée. Les résultats de simulation pour la stabilité d'une interface plane en bon accord avec une analyse de stabilité généralisée, qui tient compte d'une condition nouvelle d'ancrage à l'interface: l'orientation à l'interface nématique est le résultat de l'interaction entre la déformation en vrac et l'anisotropie d'interface. La forme et la stabilité des cellules bien développé est également influencée par cet effet. Numériquement, l'utilisation d'un paramètre d'ordre tensoriel simplifie le traitement des symétries dans le système de manière significative, tandis que les équations de mouvements deviennent beaucoup plus compliquées. Dans la deuxième partie, les joints de grains sont étudiés sur une échelle plus petite longueur, en utilisant un modèle de cristal phase de terrain, où les propriétés élastiques et des dislocations apparaissent naturellement. Avec ce modèle, l'ordre local dans les interfaces est examiné et la stabilité des films liquides entre deux grains solides est étudiée ci-dessous le point de fusion. Cette situation peut être décrite par un potentiel d'interaction entre les deux interfaces solide-liquide, qui est extraite numériquement. Les résultats sont comparés avec un modèle phénoménologique qui se trouve à tenir pour les joints de grains à forte inclinaison, où les dislocations se chevauchent. Pour les joints de grains à faible angle, autour de préfusion dislocation ainsi qu'une brisure de symétrie (paires de dislocations forme) est observée. En conséquence, le potentiel d'interaction devient nonmonotonous, et se compose d'une attraction à longue portée et une répulsion à courte portée. Dans la troisième partie, un nouveau modèle de phase sur le terrain est développé en utilisant une variable d'angle pour décrire l'orientation cristalline. Contrairement aux modèles déjà existants, l'énergie libre est construit sans un terme proportionnel au module du gradient du champ de l'orientation. Au lieu de cela, le gradient de la norme au carré est utilisé, mais il est couplé à la phase du champ avec une fonction de couplage singulier. Diverses simulations référence sont réalisés afin de tester le modèle. Il se trouve qu'elle présente plusieurs artefacts tels que la rotation et le mouvement du grain parasite interface, mais ces effets sont extrêmement petites, telles que le modèle donne des résultats satisfaisants que si la surfusion est très faible. Enfin, les problèmes observés sont analysés et des moyens d'obtenir une meilleure description de la dynamique de l'angle de champ sont discutées.