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Theses Year : 2007

Invariant asymptotic observers: theory and examples

Observateurs asymptotiques invariants : théorie et exemples

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Abstract

This thesis is about the construction of non-linear estimators of the asymptotic observers type. We will first build an observer in order to estimate the concentrations in reactive in a polymerization reactor of TOTAL. Then we will pursue theoretical questions about the use of symmetries for the design of non-linear estimators. The chemical reactor we worked on is a high pressure polymerization reactor which produces plastics that are polymers made of two or three monomers. The estimation of the concentrations in each reactive in the several zones of the reactor is based on a model of the reaction. The model consists of a mass balance, an energy balance, and the use of a chemical kinetics model. Thanks to the equations of the model, and to the measurements of temperature and flows, we give a real-time estimation of the concentrations. It is a nonlinear estimator, and the convergence is based on contraction properties. This estimator was implemented and validated on the industrial unit. The convergence of the estimator is independent of the choice of the units with which the balances are written. We wondered if it always possible, when one builds an observer for the concentrations of the Luenberger or extended Kalman filter type, to write correction terms which do not depend on the units. We thus considered a more academic example : a chemical exothermic reactor, for which the temperature and flows are measured, and the chemical kinetics is of order one. We want to estimate the concentrations, and we want the convergence properties to be independent of the physical units. This study showed that an approach based on symmetries could suggest non-linear correction terms, and some change of variables which help when it comes to studying global convergence of observers of the Luenberger of extended Kalman filter type. Then we developed a general method in order to write correction terms which systematically preserve the symmetries of the system. The principal theoretical contribution of the thesis is to give a precise method to write all the correction terms which preserve the symmetries. The notion of the error between the true state and the estimated state is reexplored via the notion of invariant state-error. The invariant state error dynamics has very interesting properties. In particular it is independent of the trajectory for a left-invariant trajectory on a Lie group. We apply the theory of invariants observers to mainly three examples, a chemical reactor for which we build a non-linear globally convergent observer, an example of a non-holonomic car for which we build an almost globally convergent observer, and an example of inertial navigation assisted by velocity measurements for which we get the local convergence around any trajectory and such that the global behavior of the error does not depend neither on the trajectory nor on the inputs. Although the theory deals with the cases where the dimension of the symmetry group is smaller than the dimension of the state, it seems very natural to use a similar method to deal with the general case. This is the topic of the last part of the thesis where we look at four examples. The synthesis of reduced observer for a class of lagrangian systems such that all the positions are measured : the transformation group consists of all the change of coordinates on the configuration space. The models of the Saint-Venant type on which the Shallow-water model are based, and which are used in oceanography : the dimension of the state space is infinite since the models use partial differential equations. The data fusion in inertial navigation for which the measurement is an image, and thus is dimension of the output is infinite. Finally, the parametric estimation of a two-states quantum system for which the dimension of the group is bigger than the dimension of the state.
Cette thèse a pour objet la construction d'estimateurs non-linéaires à base d'observateurs asymptotiques. Dans un premier temps nous développons un observateur destiné à estimer des concentrations en réactifs dans un réacteur de polymérisation du groupe TOTAL. Dans un deuxième temps, nous nous posons des questions d'ordre plus théorique sur l'utilisation des symétries dans la conception d'observateurs non-linéaires. Le réacteur que nous avons considéré est un réacteur de polymérisation haute pression qui produit des polymères de type plastique composés de deux ou trois monomères. L'estimation des concentrations en certains réactifs dans les différentes zones du réacteur repose sur la modélisation de la réaction. Le modèle consiste principalement un bilan de matière, d'énergie, et l'utilisation de modèles de cinétique chimique. Ensuite via les équations du modèle et les mesures de températures et débits, on remonte aux concentrations en temps réel. L'estimateur construit est non-linéaire, et la convergence repose sur une structure triangulaire. Cet estimateur a été installé et validé sur l'unité industrielle. La convergence de l'estimateur envisagé est indépendante du choix des unités dans lesquelles on écrit les bilans. Nous nous sommes interrogés sur la possibilité, quand on fait un observateur pour les concentrations, d'écrire des termes de correction indépendants des unités. A cet effet nous avons considéré un exemple plus académique : un réacteur chimique exothermique, pour lequel on mesure les températures et les débits, et où la cinétique chimique est d'ordre 1. On veut estimer certaines concentrations, et l'on souhaite que les propriétés de convergence soient indépendantes des unités. Cette étude a montré qu'une approche basée sur les symétries pouvait suggérer des termes de correction nonlinéaires puis des changements de variables propices à l'étude de la convergence globale, pour des observateurs dont la forme est du type observateur de Luenberger ou filtre Kalman Etendu. Ensuite, nous avons développé une méthode générale pour écrire de manière systématique les termes de corrections qui préservent les symétries. La contribution théorique principale de la thèse est de donner une méthode pour construire tous les termes de corrections non-linéaires qui préservent les symétries. On remet ensuite en perspective la notion d'erreur entre l'état et son estimée en proposant la notion d'erreur invariante. La dynamique de cette erreur invariante possède alors des propriétés fort intéressantes. En particulier, elle est indépendante de la trajectoire du système pour un système invariant à gauche sur un groupe de Lie. On applique alors cette nouvelle théorie des observateurs invariants à principalement trois exemples, un réacteur chimique pour lequel on construit un observateur globalement convergent, un exemple de voiture non-holonome où l'on construit un observateur presque globalement convergent, et un exemple emprunté au domaine de la navigation inertielle aidée par des mesures de vitesse pour lequel on obtient la convergence locale autour de toute trajectoire et tel que le comportement global de l'erreur est indépendant de la trajectoire et des entrées. Bien que nous n'ayons abordé en détail que les situations où la dimension du groupe reste inférieure à celle de l'état, il est très naturel d'envisager de traiter avec une approche analogue des cas plus généraux. Tel est l'objet de la dernière partie de la thèse avec quatre exemples. La synthèse d'observateur réduit pour une classe de système Lagrangien dont on mesure la position : le groupe de transformation est celui des changements de coordonnées sur l'espace de configuration. Les modèles de type Saint-Venant qui interviennent dans les modèles océanographiques : l'espace d'état est de dimension infinie car les modèles sont à base d'équations aux dérivées partielles. La fusion de données en navigation inertielle avec comme mesure une image et donc une sortie de dimension infinie. Enfin, l'estimation paramétrique d'un système quantique à deux états où la dimension du groupe est un peu plus grande que celle de l'état.
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pastel-00004868 , version 1 (06-03-2009)

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  • HAL Id : pastel-00004868 , version 1

Cite

Silvère Bonnabel. Observateurs asymptotiques invariants : théorie et exemples. Mathématiques [math]. École Nationale Supérieure des Mines de Paris, 2007. Français. ⟨NNT : 2007ENMP1590⟩. ⟨pastel-00004868⟩
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