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Theses Year : 2009

Utilities Progressive Dynamics.

Utilités Progressives Dynamiques.

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Abstract

In 2002, Marek Musiela Thaleia Zariphopoulo and introduced the concept of (\ em utility) forward, ie a dynamic utility, incremental, consistent with a given financial market. We can see this process as a random field $ U (t, x) $ adapted to the available information, which every moment is a standard utility (hence in particular at the time $ 0 $, compatible with a family of strategies, data $ (X ^ (\ pi)) $ in the sense that for all $ t, h> 0 $, $ \ mathbb (E) (U (t + h, X ^ (\ pi) _ (t + h)) | \ mathcal (F) _t) \ leq U (t, X ^ (\ pi) _t) $ and there exists an optimal portfolio $ X ^ * $ for which the inequality is an equality. \ \ The authors have done several articles on this, showing in particular how traditional utilities, power, exponential, etc need to be modified for dynamic progressive utilities. Limited attention has been paid to the investment universe. \ noindent In my thesis, I consider a much more general. Indeed, the contract is incomplete in the sense that an investor is forced, at every time $ t \ ge 0 $, choose those strategies eligible for closed convex cones, adapted $ \ k_t (X_t) $ depend on the level of wealth X_t $ $. I believe later that the random fields $ U (t, x) $ evolve according to the dynamics \ begin (equation) \ label (eq: field) dU (t, x) = \ beta (t, x) + \ Gamma (t, x) dW_t, ~ U (0,.) = u (.) (\ text (given)) \ end (equation) As in the classical optimization, ( called retrograde rebuilt since the information from the end), I show that the% term% $ \ beta (t, x) $ contains, necessarily contains a term like classical Hamiltonian% modified by the presence of volatility derived from% $ \ Gamma (t, x) $ of the value gradually. And therefore all utility progressive% satisfied assumptions of regularities of Ito-lemma Ventzell% satisfied I propose to consider the equations of Hamilton-Jacobi-Bellman that satisfies a progressive utility $ u (t, x) $. To conduct this study, I use a formula of generalized Itô formula call'd Ventzell-Friedlin, which allows for the decomposition Ito-type composed of a random field with an Ito process. I then show that the term $ \ beta (t, x) $ contains necessarily a term of type classical Hamiltonian modified by the presence of derivative volatility $ \ Gamma (t, x) $ of the value gradually. And therefore any incremental value that satisfies the assumptions of regularities of Ito-lemma Ventzell satisfy the stochastic differential equation \ begin (equation) \ EDPSU label () dU (t, x) = \ Big \ (-xU '_ (x) \, dt r_t + \ frac (1) () (xx 2U''_ (t, x)) \ | \ prod_ ( \ k_t (x) \ sigma_t) \ big ((x) U'_ (t, x) \ + eta_t \ Gamma'_x (t, x) \ big) \ | ^ 2 \ Big \) (t, x) \ , DT \> + \ Gamma (t, x) dW_t. \ end (equation) with $ X as optimum portfolio process ^ * $ associated with the strategy $ \ pi ^ * $ given by \ begin (equation) x \ pi ^ * (t, x) \ sigma_t =- \ frac (1) () (xx U''_ (t, x)) \ | \ prod_ (\ k_t (x) \ sigma_t) \ big (U ' _ (x) (t, x) \ + eta_t \ Gamma'_x (t, x) \ big) (t x) \ end (equation) \ noindent where $ r $ is the short rate, $ \ eta $ premium market, $ \ sigma $ the variance-covariance matrix of assets and $ \ prod_ (\ k_t (x) \) $ means sigma_t the projection operator on the cone $ \ k_t (x) \ $ sigma_t. \ \ This point of view to verify that the random field, if there is consistent with the investment universe. However, the question of convexity and monotony is a priori complex because there are no theorems comparison for progressive equations (which are (\ em forward)), unlike the case of backward equations. The question of interpretation and the role of volatility are found to be so central to this study. Contrary to the general framework that I considered here, and Mr. T. Musiela Zariphopoulo and C. Rogers et al were limited to cases where the volatility of utility is identically zero. The gradual process $ u (t, x) $ is a deterministic function satisfying a nonlinear PDE, the authors have turned into space-time harmonic solution of the heat equation. \ \ My choice was étudire the issue of volatility in the technical change in cash, so I show stability of the utility concept gradual change of currency. The advantage of this technique compared with the conventional method,%% As with the classical, the problem is complicated by the fact that the space of n% Constrain is not invariant under change of numeraire. is that it can always be reduced to a market "martingale" ($ r = $ 0 and $ \ eta = 0 $), which greatly simplifies the equations and calculations . The derivative of volatility appears to be a risk premium introduces instant market, which depends on the level of wealth of the investor. This new perspective can answer the question of the interpretation of the volatility utility. In the following, I study the dual problem and I show that the transform of (\ em Fenchel) $ \ $ tU concave function of $ U (t, x) $ is also a Markov random field satisfying dynamics \ begin (eqnarray) \ label (EDPSDuale ') d \ tilde (U) (t, y) = \ left [\ frac (1) (2 \ (yy tU_ }''}( \ | \ tilde (\ Gamma) '\ | ^ 2 - \ | \ prod_ (\ k_t (- \ tU_y' (t, y)) \ sigma_t) (\ tilde (\ Gamma }^{'}_ y-y \ eta_t) \ | ^ 2 ) + y \ (y) tU_ 'r_t \ right] (t, y) dt + \ tilde (\ Gamma) (t, y) dW_t, ~ ~ \ tilde (\ Gamma) (t, y) = \ Gamma ( t \ tU_y '(t, y)). \ end (eqnarray) From this result I show that the dual problem admits a unique solution $ Y ^ * $ in volatilté $ \ nu ^ * $ is given by \ begin (equation) y \ nu ^ * (t, y) = - \ frac (1) (\ yy) (tU_'') \ Big (\ tilde (\ gamma) '+ y \-eta_t \ prod_ (\ k_t (- \ tU_y ') \ sigma_t) (\ tilde (\ Gamma }^{'}_ y-y \ eta_t) \ Big) (t, y). \ end (equation) \ noindent This will allow to establish the identities the following key: \ begin (eqnarray) & Y ^ * (t (U_x')^{- 1) (0, x)) = U'_x (t, X ^ * (t, x)) \-label (A) \ \ & (\ Gamma'_x U'_x + \ eta) (t, x) = (xU''(t, x) \ pi ^ * (t, x) \ sigma_t + \ nu ^ * (U_x '(t , x)) \ label (B). \ end (eqnarray)% Note that the term $ (\ Gamma'_x U'_x + \ eta) $ is decomposed uniquely as% of its projection on the cone $ \ K \ sigma $, which is the optimal strategy, and the projection on the dual cone $ \ K ^ * \ sigma $,% which is the volatility of the optimal dual process. But our goal is two term project known as the projection% Á From the first identity we know that $ U'_x (t, X ^ * (t, x)) $ is simply the optimal dual process% Callback At this stage that the purpose of this study is carracteriser utilities progressive. The question then is: can we characterize the utility $ U (t, x) $ for all $ x> 0 $ from the first identity? This may seem too much to ask as we seek to characterize the field $ U $ knowing only its behavior along the unique optimal trajectory $ X ^ * $. However, the answer turns out to be positive and relatively simple. Indeed, denote by $ \ Y (t, x): = Y ^ * (t, (U_x')^{- 1) (0, x)) $, and assume that the stochastic flow $ X ^ * $ is invertible, $ \ X $ denotes its inverse. So , reversing in (\ ref (A)), I deduce that $ U_x '(t, x) = \ Y (t \ X (t, x)) $. By integrating with respect to $ x $, j' U get that $ (t, x) = \ int_0 ^ x \ Y (t, \ X (t, z)) dz $, which proves the following theorem: \ begin (theo) Under assumptions of regularity and reverse flow $ X ^ * $ $ U $ processes defined by $ U (t, x) = \ int_0 ^ x \ Y (t, \ X (t, z)) dz $ are the solutions of the incremental utility 'stochastic PDE (\ ref () EDPSU). \ end (theo)%% \ noindent Conversely, I show the theorem of stochastic PDE: \ begin (theo) Let $ U $ be a random field solutions of the stochastic PDE (\ ref (EDPSU)). Using décompostion (\ ref (B)), if DHS following \ begin (eqnarray *) & dX ^ * _t (x) = X ^ * _t (x) (r_tdt + \ pi ^ * (t, X ^ * _t (x)) \ sigma_t (dW_t + \ eta_tdt)), X ^ * _0 (x) = x ~ \ \ & dY ^ * _t (y) = y ^ * _t (y) (-r_tdt + \ nu ^ * (t, Y ^ * _t (y)) dW_t), ~ Y ^ * _0 (y) = y \ end (eqnarray *) admit strong solutions unique and monotonic, then, noting $ \ Y (t, x): = Y ^ * (t, (U_x')^{- 1) (0, x)) $ and $ \ X $ the reverse flow of $ X $, we get that $ U (t, x) = \ int_0 ^ x \ Y (t, \ X (t, z)) dz $. If in addition $ X ^ * $ and $ Y ^ * $ is increasing, $ U $ is concave. \ end (theo) \ noindent% In this work, I still consider an incomplete market, in a second part of this work, I place myself in a much broader sense in which the assets are assumed to be locally-bounded cadlag and Therefore filtration is no longer a Brownian filtration. I replace the convex cone type constraints by constraints more general type convex set. The purpose of this section is to characterize all progressive utility with a minimum of assumptions, including with fewer assumptions on regularities of the random fields $ U $. I no longer assume that $ U $ is twice differentiable and therefore I can not apply the Ito-lemma Ventzell. The approach is so different: I first establish the optimality conditions optimal wealth process and the optimal dual process, and using the methods of analysis. Using these results I show, by elements of analysis, convexity and optimality conditions that all utilities generating progressive increasing wealth is of the form $ \ int_0 ^ x \ Y (t, \ X (t, z)) dz $ with $ \ Y $: $ \ YX $ is supermartingale for all wealth $ X $ and a martingale if $ X = X ^ * $.
En 2002, Marek Musiela et Thaleia Zariphopoulo ont introduit la notion de {\em forward utility}, c'est à dire une utilité dynamique, progressive, cohérente avec un marché financier donné. On peut voir ce processus comme un champ aléatoire $U(t,x)$ adapté à l'information disponible, qui a chaque instant est une utilité standard (donc en particulier à la date $0$, compatible avec une famille de stratégies données $(X^{\pi})$ au sens où pour tout $t,h>0$, $ \mathbb{E}(U(t+h,X^{\pi}_{t+h})|\mathcal{F}_t)\leq U(t,X^{\pi}_t)$ et il existe un portefeuille optimal $X^*$ pour lequel l'inégalité est une égalité.\\ Les auteurs ont fait plusieurs articles sur ce sujet, montrant en particulier comment les utilités classiques, puissance, exponentielle, etc doivent être modifiées pour être des utilités dynamique progressives. Une attention limitée a été portée à l'univers d'investissement. \noindent Dans mon travail de thèse, je considère un cadre beaucoup plus général. En effet, le marché est incomplet dans le sens où un investisseur est contraint, à chaque date $t\ge 0$, de choisir ces stratégies admissibles dans des cones convexes fermés, adaptés $\K_t (X_t)$ dépendent du niveau de sa richesse $X_t$. Je considère par la suite que les champs aléatoires $U(t,x)$ évoluent selon la dynamique \begin{equation}\label{eq:champ} dU(t,x)=\beta(t,x)+\Gamma(t,x) dW_t,~U(0,.)=u(.) (\text{donnée}) \end{equation} Comme dans l'optimisation classique, (dite rétrograde puisqu'on reconstruit l'information à partir de la fin), %je montre que le terme %$\beta(t,x)$ contient, contient nécéssairement, un terme de type hamiltonien classique %modifié par la présence de la dérivée de la volatilité %$\Gamma(t,x)$ de l'utilité progressive. Et par conséquent toute utilité progressive qui % satisfait les hypothèses de régularités du lemme d'Itô-Ventzell % satisfait je me propose d'étudier les équations de type Hamilton-Jacobi-Bellman que satisfait une utilités progressive $u(t,x)$. Pour mener cette étude, j'utilise une formule d'Itô généralisée apellée la formule de Ventzell-Friedlin, qui permet d'établir la décomposition de type Itô de la composée d'un champ aléatoire avec un processus d'Itô. Je montre alors que le terme $\beta(t,x)$ contient, nécéssairement, un terme de type hamiltonien classique modifié par la présence de la dérivée de la volatilité $\Gamma(t,x)$ de l'utilité progressive. Et par conséquent toute utilité progressive qui satisfait les hypothèses de régularités du lemme d'Itô-Ventzell satisfont l' équation différentielle stochastique suivante \begin{equation}\label{EDPSU} dU(t,x)=\Big\{-xU'_{x}\, r_t dt+ \frac{1}{2U''_{xx}(t,x)}\|\prod_{\K_t(x)\sigma_t}\big(U'_{x}(t,x) \eta_t+\Gamma'_x(t,x)\big) \|^2\Big\}(t,x)\,dt\>+\Gamma(t,x)\,dW_t. \end{equation} avec comme portefeuille optimal $X^*$ le processus associé à la stratégie $\pi^*$ donnée par \begin{equation} x\pi^*(t,x)\sigma_t=- \frac{1}{U''_{xx}(t,x)}\|\prod_{\K_t(x)\sigma_t}\big(U'_{x}(t,x) \eta_t+\Gamma'_x(t,x)\big)(t,x) \end{equation} \noindent où $r$ est le taux court, $\eta$ la prime de marché, $\sigma$ la matrice de variance covariance des actifs et $ \prod_{\K_t(x)\sigma_t}$ désigne l'opérateur de projection sur le cône $\K_t(x)\sigma_t$. \\ Ce point de vue permet de vérifier que le champ aléatoire, s'il existe est compatible avec l'univers d'investissement. Cependant, la question de la convexité et de la monotonie est complexe a priori, car il n'existe pas de théorèmes de comparaison pour les équations progressives (qui sont {\em forward}), contrairement au cas des équations rétrogrades. La question de l'interprétation et du rôle de la volatilité s'avère alors être centrale dans cette étude. Contrairement au cadre général que je considère ici, M.Musiela et T.Zariphopoulo, puis C.Rogers et al se sont restreint au cas où la volatilité de l'utilité est identiquement nulle. Le processus progressif $u(t,x)$ est alors une fonction déterministe satisfaisant une EDP non linéaire, que les auteurs ont transformé en solution harmonique espace temps de l'équation de la chaleur. \\ Mon choix a été d'étudire la question de la volatilité par des techniques de changement de numéraire; ainsi, je montre la stabilité de la notion d'utilité progressive par changement de numéraire. L'avantage considérable de cette technique, comparée à la méthode classique, % Comme dans le cas % classique, le problème est compliqué par le fait que l'espace des % contraites n'est pas invariant par changement de numéraire. est le fait qu'elle permet de se ramener toujours à un marché "martingale" ($r=0$ et $\eta=0$), ce qui simplifie considérablement les équations et les calculs. La dérivée de la volatilité apparaît alors comme une prime de risque instantanée que le marché introduit, et qui dépend du niveau de la richesse de l'investisseur. Ce point de vue nouveau permet de répondre à la question de l'interprétation de la volatilité de l'utilité. Dans la suite, j'étudie le problème dual et je montre que la transformée de {\em Fenchel} $\tU$ de la fonction concave $U(t,x)$ est un champ markovien lui aussi satisfaisant la dynamique \begin{eqnarray}\label{EDPSDuale'} d\tilde{U}(t,y)=\left[\frac{1}{2\tU_{yy}''}(\|\tilde{\Gamma}'\|^2-\|\prod_{\K_t(-\tU_y'(t,y))\sigma_t}(\tilde{\Gamma}^{'}_y-y\eta_t)\|^2) +y\tU_{y}' r_t\right](t,y)dt +\tilde{\Gamma}(t,y)dW_t,~~\tilde{\Gamma}(t,y)=\Gamma(t,\tU_y'(t,y)). \end{eqnarray} À partir de ce résultat je montre que le problème dual admet une unique solution $Y^*$ dans la volatilté $\nu^*$ est donnée par \begin{equation} y\nu^*(t,y)= -\frac{1}{\tU_{yy}''}\Big(\tilde{\Gamma}'+y\eta_t-\prod_{\K_t(-\tU_y')\sigma_t}(\tilde{\Gamma}^{'}_y-y\eta_t)\Big)(t,y). \end{equation} \noindent Ce ci permettra d'établir les identités clé suivantes: \begin{eqnarray} &Y^*(t,(U_x')^{-1}(0,x))=U'_x(t,X^*(t,x)) \label{A}\\ &(\Gamma'_x+U'_x\eta)(t,x)=(xU''(t,x)\pi^*(t,x)\sigma_t+\nu^*(U_x'(t,x))\label{B}. \end{eqnarray} % Remarquons que le terme $(\Gamma'_x+U'_x\eta)$ se décompose de manière unique sous forme % de sa projection sur le cone $\K\sigma$, qui est la stratégie optimale, et la projection sur le cone dual $\K^* \sigma$, % qui est la volatilité du processus optimal dual. Mais notre but est deux termes projétés su comme la projection % Á partir de la première identité nous savons que $U'_x(t,X^*(t,x))$ n'est autre que le processus optimal dual %Á ce stade rapellons que le but de cette étude est de carracteriser les utilités progressives. La question par la suite est la suivante: peut-on caractériser l'utilité $U(t,x)$ pour tout $x>0$ à partir de la première identité? Ceci peut paraître trop demander car nous cherchons à caractériser le champ $U$ connaissant seulement son comportement le long de l'unique trajectoire optimale $X^*$. Cependant, la réponse à cette question s'avère être positive et assez simple. En effet, notons par $\Y(t,x):=Y^*(t,(U_x')^{-1}(0,x))$, et supposons que le flot stochastique $X^*$ soit inversible, $\X$ désigne son inverse. Alors, en inversant dans (\ref{A}), je déduis que $U_x'(t,x)=\Y(t,\X(t,x))$. En intégrant par rapport à $x$, j'obtiens que $U(t,x)=\int_0^x\Y(t,\X(t,z))dz$, ce qui prouve le théorème suivant: \begin{theo} Sous des hypothèses de régularités et d'inversion du flot $X^*$, les processus $U$ définis par $U(t,x)=\int_0^x\Y(t,\X(t,z))dz$ sont des utilités progressives solutions de l'EDP stochastique (\ref{EDPSU}). \end{theo} % %\noindent Inversement, je montre le théorème d'EDP stochastique suivant: \begin{theo} Soit $U$ un champ aléatoire solutions de l'EDP stochastique (\ref{EDPSU}). En utilisant la décompostion (\ref{B}), si les EDS suivantes \begin{eqnarray*} & dX^*_t(x)=X^*_t(x)(r_tdt+\pi^*(t,X^*_t(x))\sigma_t(dW_t+\eta_tdt)),X^*_0(x)=x ~\\ & dY^*_t(y)=Y^*_t(y)(-r_tdt+\nu^*(t,Y^*_t(y))dW_t),~Y^*_0(y)=y \end{eqnarray*} admettent des solutions fortes unique et monotonnes, alors, en notant par $ \Y(t,x):=Y^*(t,(U_x')^{-1}(0,x))$ et par $\X$ le flot inverse de $X$, on obtient que $U(t,x)= \int_0^x\Y(t,\X(t,z))dz$. Si de plus $X^*$ et $Y^*$ sont croissants, $U$ est concave. \end{theo} \noindent %Dans ce travail, je considère toujours un marché incomplet, Dans une seconde partie de ce travail, je me place dans un cadre beaucoup plus général dans le sens où les actifs sont supposés être cadlag locallement bornés, et par conséquent la filtration n'est plus une filtration brownienne. Je remplace les contraintes de type cône convexe par des contraintes plus générales de type ensemble convexe. Le but de cette partie est de caractériser toutes les utilités progressives avec le minimum d'hypothèses, notamment avec moins d'hypothèses de régularités sur les champs aléatoires $U$. Je ne suppose plus que $U$ est deux fois différentiable et par conséquent je ne peut plus appliquer le lemme d'Itô-Ventzell. L'approche est alors différente: je commence par établir des conditions d'optimalité sur le processus de richesses optimale ainsi que le processus optimal dual, et ce en utilisant des méthodes d'analyse. En utilisant ces résultats je démontre, par des éléments d'analyse, la convexité ainsi que les conditions d'optimalités que toutes les utilités progressives générant une richesse croissante est de la forme $\int_0^x\Y(t,\X(t,z))dz$ avec $\Y$ : $\Y X$ est une surmartingale pour toute richesse $X$ et une martingale si $X=X^*$.
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Mohamed Mrad. Utilités Progressives Dynamiques.. Mathématiques [math]. Ecole Polytechnique X, 2009. Français. ⟨NNT : ⟩. ⟨pastel-00005815⟩
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