An extension of the Yule process for the stochastic modelling of recurrent events. Application to the failures of pressure water mains.
Une extension du processus de Yule pour la modélisation stochastique des événements récurrents. Application aux défaillances de canalisations d'eau sous pression.
Résumé
An extension of the Yule Process is proposed that aims at stochastically modelling recurrent events. The analytical form of the distribution of the number of events in a given time interval conditional on the number of past events is established; this distribution is important for modelling an actual process observed within any bounded time interval. The linear dependency between process intensity and rank of event leads to a negative binomial distribution. The likelihood function of the LEYP model (Linear Extended Yule Process) given a sequence of observed events is built, and allows to estimate the parameters. The number of events in a time interval given the number of events in a previous interval is then proven to also have a negative binomial distribution; this result is essential to validate the model and perform predictions. If the system lifetime is randomly limited due to past events, data may be biased by the selective survival phenomenon, and the system survival has to considered when building the likelihood function. The model parameter estimation is studied by computer simulations. It is shown how to simulate a sample of events distributed according to a LEYP, estimate the parameters by maximizing their likelihood function, perform predictions, and validate them by building a predictive performance curve. The LEYP model is lastly used with real failure data, that demonstrate its practical efficiency.
Une extension du processus de Yule est proposée à but de modélisation stochastique des événements récurrents. Une formule analytique est démontrée pour la distribution du nombre d'événements conditionnelle au nombre d'événements passés ; cette distribution est importante pour modéliser un processus réel observé sur un intervalle de temps borné quelconque. La dépendance linéaire entre intensité du processus et rang de l'événement conduit à la distribution binomiale négative du processus de comptage. La fonction de vraisemblance du modèle LEYP (Linear Extended Yule Process) connaissant une séquence d'événements est construite afin d'estimer les paramètres. Est ensuite établie la forme particulière (binomiale négative) que prend la probabilité du nombre d'événements dans un intervalle donné, conditionnelle au nombre d'événements dans un intervalle antérieur ; ce résultat est indispensable pour valider le modèle, et effectuer des prévisions. Si la durée de vie du système est limitée par le nombre d'événements subis, les données d'observation peuvent être biaisées par un phénomène de survie sélective, et la survie du système doit être prise en compte pour construire la fonction de vraisemblance. L'estimation des paramètres est étudiée par simulations sur ordinateur. Il est montré comment simuler une séquence d'événements distribués selon un LEYP, estimer les paramètres en maximisant leur fonction de vraisemblance, prédire le nombres d'événements, et valider ces prévisions en établissant une courbe de performance prédictive. Le modèle LEYP est enfin mis en oeuvre sur des exemples réels de données de défaillance, et son efficacité pratique est mise en évidence.
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