Crochets de Poisson gradués et applications: structures compatibles et généralisations des structures hyperkählériennes
Résumé
L'un des objets principaux de la thèse est de montrer que de nombreuses structures algébriques (algébroïdes de Lie, bigébroïdes de Lie, crochet de Schouten-Nijenhuis, crochet de Frölicher-Nijenhuis, etc...), définies sur un fibré vectoriel A, s'expriment simplement en termes d'une structure de Poisson canonique, appelée le grand crochet, définie sur une certaine supervariété symplectique. On donne, par exemple, une formule explicite pour le crochet de Frölicher-Nijenhuis en termes du grand crochet. On uniformise également, en termes du grand crochet, différentes notions de compatibilités entre structures algébriques ou entre tenseurs sur A. On généralise, en particulier, les structures de Poisson quasi-Nijenhuis aux structures de Poisson quasi-Nijenhuis avec flux. Enfin, on donne des exemples de ces structures compatibles apparaissant dans des généralisations des variétés hyperkählériennes ou provenant de systèmes d'équations de Monge-Ampère.