Space-time resolved measurements in water waves : Focus on trapped modes
Mesures résolues en temps et en espace d'ondes à la surface de l'eau : Application aux modes piégés
Résumé
This thesis represents a contribution to the understanding of certain water wave phenomena of interest in current research. A number of significant results have been obtained by means of a new free-surface measuring technique that has been developed for such studies. This optical profilometric technique consists in projecting a sinusoidal-profile fringe pattern of known characteristics onto the free surface and in observing the projected images from a different direction. The surface deformation, as well as the perspective, introduce a local frequency modulation of the fringe pattern. Analysis of the deformed image and its comparison with a reference image allow for the reconstruction of the free-surface deformation. In particular, this technique presents the advantage of determining the surface's profile from only one image, which allows the study of highly unstationary surface flows. The high spatio-temporal resolution achieved allow, for the first time, the exploration of a vast variety of water wave phenomena. Two major experimental studies on surface waves have been carried out during the course of this thesis. In the first one, we focused on the study of water wave resonances around a circular cylinder of radius a placed symmetrically between the parallel walls of a waveguide of width 2d (trapped modes). The relevant dimensionless parameters in this case are the frequency of waves kd (k being the wavenumber), and a/d, the aspect ratio between the cylinder and the waveguide. In the framework of this study, several values of the aspect ratio have been explored. This work provides the first complete experimental characterization of trapped modes in the frequency space, as well as a detailed analysis of their spatial structure. This caracterization has been obtained by decomposing the free surface deformation field in harmonics of the driving frequency, which has allowed us to evaluate the relative contribution of linear and non-linear modes. Our results show that the linear component is dominant in our experiences, therefore validating the theoretical approaches based on the linear theory of water waves. A decomposition of the linear deformation field in terms of the natural symmetries of the problem enables us, for the first time, to provide experimental evidence of the spatial structure of trapped modes. These manifest in the form of non-propagative oscillations of the free surface, antisymmetric with respect to the longitudinal axis of the waveguide, confined to the vicinity of the cylinder. Two different types of trapped modes have been observed: either symmetric or antisymmetric with respect to a line perpendicular to the walls passing through the center of the cylinder. While the first type of trapped mode is always present, the second type has only been observed in the case of the largest aspect ratios. Our results regarding the spatial structure of the trapped modes confirm the theoretical predictions arising from a multipole expansion method. The frequency characterization of the trapped modes has been obtained by the analysis of the problem in the far field. By introducing reflection and transmission coefficients for the antisymmetric perturbations inside the waveguide, we were able to build resonance curves for every value of the aspect ratio a/d considered. On this curves, the occurrence trapped modes is evidenced by the presence of one or two resonance peaks. A marked asymmetry is observed on these curves, which cannot be properly described by the classical Breit-Wigner shape. This asymmetry has been also found in a complementary numerical study. In order to describe adequately this behaviour, we have proposed a model which takes into account the proximity to the waveguide's threashold for propagation. This model allowed us to reproduce the asymmetry of the resonance curves and was successfully validated with the experimental results. Finally, all the experimental results are summarized on master curve, depicting the dependence of the trappedmode frequency kd with the aspect ratio a/d. This curve is composed, as expected, by two branches, corresponding to the two types of trapped modes observed. This results show an excellent agreement with the predictions available in the literature. The second experimental study conducted in the frame of this thesis regards the turbulence of bending waves in a thin elastic plate. In this case, fully space-time resolved measurements of the plate deformation have been employed to determine, for the first time, the three-dimensional energy spectrum of wave turbulence. Analysis of this spectrumshows the presence of a turbulent energy cascade: low wavenumbers are characterized by a strong anisotropy associated to the forcing, the isotropy being recovered at large wavenumbers. Moreover, analysis of the three-dimensional spectrum leads to the observation that the energy is mainly concentrated in the vicinity of a 2D surface, representing a weakly non-linear dispersion relation. This experimental result confirms the persistence of the spatio-temporal structure of waves comprising the turbulent cascade. Our experimental approach for wave turbulence revealed also the principal characteristics of the weakly coupled waves that can be usefully compared with the predictions of weak turbulence theory. This study confirms and quantifies the weakly non-linear behaviour of the waves in the turbulent cascade. Furthermore, our results confirmed that the scaling law in the supplied power is the same for the energy spectrum. We have shown a bon accord between experimental results and weak turbulence theory. Two other preliminary studies are brieflymentioned, regarding the time-reversal of waterwaves and the spatio-temporal evolution of the free surface after the impact of a drop.
Cette thèse est une contribution à la compréhension de certains phénomènes d'ondes de surface sur des problèmes d'intérêts actuels. Des résultats significatifs ont été obtenus grâce à une nouvelle technique de mesure de la surface libre qui a étémise au point pour ces études. Cette technique de profilométrie optique consiste à projeter un réseau de franges sinusoïdales de caractéristiques connues sur la surface libre et à observer l'image projetée depuis une autre direction. La déformation de la surface, ainsi que la perspective introduisent une modulation locale de fréquence du réseau de franges. L'analyse de l'image déformée et sa comparaison avec une image de référence permet de reconstruire la déformation de la surface libre. En particulier, cette technique à l'avantage de déterminer le profil de la surface étudiée à partir de l'acquisition d'une seule image, ce qui permet l'étude des écoulements en temps réel et des processus dynamiques fortement non-stationnaires. La haute résolution spatiale et temporelle atteinte permettent pour la première fois l'exploration d'une grande variété de phénomènes à la surface d'un liquide. Principalement deux études expérimentales sur des ondes de surface ont été effectuées. Dans la première, nous nous concentrons sur l'étude des résonances d'ondes de surface autour d'un cylindre circulaire de rayon a dans un guide d'onde de largeur 2d (modes piégés). Les paramètres adimensionnels pertinents sont, d'une part la fréquence des ondes kd (k étant le nombre d'onde) et, d'autre, le rapport d'aspect a/d entre le cylindre et le guide. Dans le cadre de cette étude, un grand nombre de rapports d'aspect ont été explorées. Ce travail fournit la première caractérisation expérimentale complète des modes piégés dans l'espace des fréquences ainsi qu'une analyse détaillée de leur structure spatiale. Cette caractérisation a été obtenue en décomposant le champ de déformation de la surface libre en harmoniques du forçage, ce qui nous a permis d'évaluer la contribution relative des modes linéaires et non linéaires. Nos résultats montrent que la composante linéaire est dominante dans nos expériences, ce qui valide les approches théoriques basées sur la théorie linéaire des ondes de surface. Une décomposition de la partie linéaire du champ de déformation de la surface libre en fonction des symétries naturelles du problème permet, pour la première fois, la mise en évidence expérimentale de la structure spatiale des modes piégés. Ils se manifestent comme des oscillations non propagatives de la surface libre, antisymétriques par rapport à l'axe longitudinal du guide, confinées au voisinage du cylindre. Deux types de modes piégés ont été observés : symétriques et antisymétriques perpendiculairement à l'axe du canal. Alors que le premier type de mode est toujours présent, le second n'a été observé que dans le cas des plus grands rapports d'aspect. Nos résultats sur la structure spatiale de ces modes confirment les prédictions théoriques issus d'une méthode d'expansion en multipôles. La caractérisation en fréquence des modes piégés a été obtenue par une analyse en champ lointain plus précise qu'une simple mesure locale. En introduisant des coefficients de réflexion et de transmission pour les perturbations antisymétriques dans le guide, nous avons pu construire des courbes de résonance pour chacun des rapports d'aspect a/d étudiés. Sur ces courbes, l'apparition des modes piégés est mise en évidence par la présence d'un ou de deux pics de résonance. Une forte asymétrie est observée dans ces courbes, qui ne s'ajustent pas au modèle classique de Breit-Wigner. Cette asymétrie a été aussi mise en évidence dans une étude numérique complémentaire. Afin de pouvoir décrire correctement ce comportement, nous avons proposé un modèle qui tient compte de la proximité de la fréquence de coupure du guide. Ce modèle nous a permis de reproduire l'asymétrie de nos courbes de résonance et a été validé expérimentalement par nos résultats. Les résultats de cette étude sont synthétisés sur une courbe maîtresse qui illustre la dépendance de la fréquence adimensionnelle kd avec le rapport d'aspect a/d. Cette courbe est composée, comme attendue, de deux branches, qui correspondent aux deux types de modes piégés observés. Ces résultats montrent un excellent accord avec les prédictions théoriques existantes dans la littérature. Dans la seconde étude expérimentale conduite dans cette thèse, la turbulence des ondes de flexion sur une plaque élastique mince est étudiée. Dans ce cas, des mesures de la déformation de la plaque (intégralement résolue dans l'espace et le temps) ont été utilisées pour déterminer, pour la première fois, le spectre tridimensionnel d'énergie de la turbulence d'ondes. L'analyse de ce spectre met en évidence la présence d'une cascade turbulente d'énergie : les petits nombres d'ondes étant caractérisés par une forte anisotropie associée au forçage, tandis que les grands nombres récupèrent l'isotropie. D'autre part, l'analyse du spectre tridimensionnel montre aussi que l'énergie est concentrée au voisinage d'une surface 2D, qui représente une relation de dispersion faiblement non-linéaire. Ce résultat expérimental indique la persistance de la structure spatio-temporelle des ondes dans la plaque. Notre approche expérimentale de la turbulence d'onde a aussi révélé les principales caractéristiques des ondes faiblement couplées qui peuvent être comparées avec les prédictions de la théorie de la turbulence faible. Cette étude a confirmé et quantifié le comportement faiblement non linéaire des ondes composant la cascade turbulente. En outre, nos résultats ont confirmé que la puissance fournie et le spectre d'énergie suivaient la même loi d'échelle. Nous avons montré un bon accord entre les résultats expérimentaux et la théorie de la turbulence faible. D'autres études préliminaires sont brièvement évoquées concernant le retournement temporel d'ondes de surface et l'évolution spatio-temporelle de la déformation de la surface d'une couche mince de liquide après l'impact d'une goutte.
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