Application de la géométrie différentielle des groupes de Lie à la dynamique non linéaire des milieux curvilignes

Ibrahim Alame (1)

1 CERMA - Centre d'Enseignement et de Recherche en Mathématiques Appliquées

The aim of this work is the study of the dynamic behavior of cables, in the assumption of large displacements, which introduces a geometrical non linearity appearing in the inertial term and in the rigidity term. The cable is modelled by a succession of rigid sections linked to each other by an elastic medium without mass. No assumption is made for the sake of simplicity in the description of internal forces. In the proposed model, a non linear elastic behavior law may be introduced, that would involve a new non linear term. Differential geometry of Lie groups allows us to obtain a simple and compact writing of dynamic equations and makes the numerical processing easier. The equations are solved by a numerical algorithm written in the same manner as the equations, and this avoids large computations and the requirements for high storage. Finally, the proposed model is applied to two concrete examples ; the first, taken from industrial world treats the problem of the dynamics of robotic cables, the second, from civil engineering, deals with vibrations of tall buildings.

L'objectif de cette thèse est l'étude du comportement dynamique des milieux curvilignes, en grands déplacements. Ce qui introduit une source de non linéarité géométrique qui se manifeste dans le terme d'inertie ainsi que dans le terme de rigidité. Le milieu curviligne considéré est modélisé par une suite continue de sections rigides liées par des milieux élastiques de masse nulle. On n'introduit aucune hypothèse simplificatrice dans la description des efforts intérieurs. Dans le modèle proposé, nous pouvons introduire une loi de comportement élastique non linéaire ce qui rajoute une deuxième source de non linéarité. On utilise ici comme outil fondamental le formalisme de la géométrie différentielle des groupes de Lie, ceci permet une écriture simple et condensée des équations de la dynamique et facilite leur traitement numérique. Les équations sont résolues par un algorithme numérique élaboré dans le même formalisme, ce qui évite l'utilisation "lourde" des paramètres de coordonnées. Enfin, les résultats obtenus sont appliqués à deux exemples concrets : le premier d'origine industrielle concerne le comportement du faisceau de câbles robotiques, le deuxième issu du Génie parasismique traite du comportement dynamique de grands bâtiments.

Keywords: mathématiques appliquées; mécanique; mécanique solide; géométrie différentielle; forme curviligne; analyse numérique; algorithme; non linéarité; élasticité; fatigue; résistance matériau; corps rigide; modélisation; câble; poutre; bâtiment; grands bâtiments; grand déplacement; dynamique structure; milieu curviligne; groupes de Lie

Domains: Differential Geometry [math.DG]

Ibrahim Alame. Application de la géométrie différentielle des groupes de Lie à la dynamique non linéaire des milieux curvilignes. Géométrie différentielle [math.DG]. Ecole Nationale des Ponts et Chaussées, 1992. Français. ⟨NNT : ⟩. ⟨pastel-00568707⟩