Algèbre de Lie et cinématique des mécanismes en boucles fermées
Résumé
The aim of this work is the study of the kinematic behavior of the closed mechanisms composed of rigid bodies. The mathematical model of such a mechanism is the closure equation f (q1,..., qm) = e where q1,...,qm are the articulate coordinates and f is an analytic function valued in the Lie displacement group. The study of the kinematic property lies to the one of the set of admissible configurations f-1 ( e ) which is a submanifold in the regular case where f is a subimmersion; however, the research is much more difficult when f has some singularities. We use as a fundamental tool the formalism of the differential geometry of the Lie groups for the displacement group and the Δ - modulo structure of its Lie algebra, that permits a simple and condensed writing of the kinematic equations and makes easier their symbolic treatment. We have demonstrated that the analyze of the closure equation up to the second order is sufficient for the 6R paradoxical mechanisms. An algorithm to estimate the rank of a set of skew-symmetric fields is developed and the generations of Lie sub algebra are studied using this algorithm. We have proposed also some methods for inverse kinematic for the spatial mechanisms permitting to solve the closure equation independently of the choice of coordinates and to obtain the necessary and sufficient conditions for the solutions. Especially, the method for the spatial 6R mechanisms simplify considerably the procedure of resolution.
L'objectif de cette thèse est l'étude du comportement cinématique des mécanismes bouclés de corps rigides. Le modèle mathématique d'un tel mécanisme est l'équation de fermeture f (q1,..., qm) = e où q1,...,qm sont des coordonnées articulaires et f est une fonction analytique à valeur dans un groupe de Lie. L'étude des propriétés cinématiques se ramène à celle de l'ensemble des configurations admissibles f-1 ( e ) qui est une sous-variété dans le cas régulier où f est une subimmersion. Par contre, l'étude est beaucoup plus difficile lorsque f possède des singularités. On utilise comme outil fondamental le formalisme de la géométrie différentielle des groupes de Lie pour le groupe des déplacements et la structure de Δ - module de son algèbre de Lie, ceci permet une écriture simple et condensée des équations de la cinématique et facilite leur traitement symbolique. Nous avons montré que l'analyse au deuxième ordre de l'équation de fermeture est suffisante pour les mécanismes 6R paradoxaux. Un algorithme d'évaluation du rang d'un ensemble de champs antisymétriques (équiprojectifs) est développé et est utilisé pour étudier les processus de génération des sous algèbres de Lie. Nous avons proposé également des méthodes de cinématique inverse pour des mécanismes spatiaux, ces méthodes permettent de résoudre l'équation de fermeture indépendamment d'un choix des coordonnées et d'obtenir des conditions nécessaires et suffisantes de résolution : notamment, la méthode simplifie considérablement la procédure de résolution pour les mécanismes 6R spatiaux.
Loading...