Analyse mathématique et numérique de la propagation des fissures par le modèle de multi-couronnes
Résumé
The energy release rate is required for crack initiation analysis, and a great deal of effort has been devoted to its numerical evaluation. In this thesis, it is shown that the post-initiation assessment, such as the crack growth stability, crack propagation rate, etc., is related with the second derivatives of potential energy with respect to crack length. However accurate estimate of this quantity encounters considerable difficulty because of higher order singularity near the crack tip region, and little attention has been given in the literature to this problem. The work presented here is to have assess techniques, based on a sound mathematical consideration, for calculating accurately the second variations of energy. In the present inverstigation, our attention is focused on the lagrangian representation which is recognized to be the most effective and efficient tool for solving linear and non-linear fracture problems. Using perturbation domain technique, an analytical expression of the second derivatives of potential energy with respect to crack length is derived for the following situations: 1) thermal loading case; 2) loading accomplished by surface tractions applied on crack face; 3) axisymetric structure case. All obtained analytical expressions are put in form suitable for numerical analysis of an arbitrary three-dimensional crack configuration. A variety of example computations are performed for elastic bodies containing either one single crack or several interacting cracks in tension. Close agreement between numerical results given by the proposed approach and reference solutions as well as some theoretical properties about the second variations of potential energy has been found in all cases.
En mécanique de la rupture, les problèmes se posant avant l'initiation d'une fissure est caractérisé selon une démarche classique par une grandeur appelée Taux de Restitution d'Énergie. De grands efforts ont été consacrés à son interprétation mathématique et à la recherche de techniques pour son évaluation numérique. De nombreux travaux ont révélé que l'analyse des phénomènes se produisant après l'initiation des fissures (comme par exemple la stabilité de propagation des fissures ou leur vitesse de progression) fait intervenir des quantités comprenant des dérivations à l'ordre élevé, notamment la dérivée seconde, d'énergie potentielle par rapport à la longueur de fissures. Mais une description mathématique de ces dérivations et la recherche de techniques pour leur estimation numérique restent encore un problème ouvert dans la littérature. En effet le calcul des dérivées à l'ordre élevé présente des difficultés considérables dues à la haute singularité des solutions en fond de fissures. Le but principal de ce travail est alors d'élaborer, par une démonstration mathématique rigoureuse, une technique sophistiquée qui en permet une étude tant théorique que numérique. Nous nous limitons pour cela au cadre de la formulation lagrangienne, considérée comme un des outils les plus efficaces pour les problèmes linéaires ou non-linéaires de mécanique de la rupture. En s'appuyant sur la technique de perturbation de domaine, nous commençons par traiter le cas de chargement de surface. Par extension, les situations suivantes sont également mises en compte : 1) chargement thermique; 2) pression ou un champ de forces volumiques sur la fissure; 3) cas de structure en axisymétrique. Dans tous les cas, l'expression analytique de la dérivée seconde est mise sous une forme convenable pour l'étude numérique. Afin de montrer l'intérêt d'une méthode numérique précise, on étudie pour terminer et à titre d'exemple, la post-initiation de fissure pour des spécimens présentant, soit une seule fissure, soit plusieurs fissures interagissantes. Les résultats numériques obtenus par la méthode que nous proposons sont en bon accord avec d'autres venant d'approches différentes, et vérifient toutes les propriétés théoriques de la variation seconde du potentiel mécanique.
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