Numerical simulation of Faraday waves
Simulation numérique des ondes de Faraday
Résumé
When two immiscible fluid layers are subjected to vertical vibration, standing waves appear at the interface if the oscillation amplitude is sufficiently large. Recent work has shown an astonishing variety of patterns, which has contributed to the current interest in the Faraday problem. We have carried out the first complete three-dimensional simulation of Faraday waves. The algorithm we use combines a projection method to solve the Navier-Stokes equations with a Front-Tracking method to treat the interface. The neutral curves and temporal modes agree with Floquet theory. We then simulated the Faraday problem under the conditions in which square and hexagonal patterns appear. The spatio-temporal spectra of the simulated patterns agree with experiment. Nevertheless, the hexagons destabilize in favor of a an alternating sequence of patterns with different symmetries, suggesting the presence of a homoclinic orbit. We have developed an algorithm which forces the hexagonal symmetry in order to calculate the fixed point of this orbit. Finally, we have carried out a numerical study of the drift instability in the Faraday experiment. A horizontal displacement of initially stationary patterns has been experimentally observed when the oscillation amplitude exceeds a secondary threshold. Our numerical simulations have confirmed this result. Bifurcation diagrams displaying additional instabilities have been constructed, as well as a complementary spatio-temporal spectral analysis.
Quand deux couches fluides immiscibles sont soumises à des vibrations verticales, des ondes stationnaires apparaissent à l'interface si l'amplitude de ces oscillations est suffisamment grande. Des travaux récents ont mis en évidence que les motifs observés étaient étonnamment variés, ce qui a largement contribué à l'intéerêt que revet aujourd'hui le problème de Faraday. Nous avons réalisé la première simulation numérique complète tridimensionnelle des ondes de Faraday. Les algorithmes employés sont une méthode de projection dédiée à la résolution des équations de Navier-Stokes et une méthode de Front-Tracking consacrée au traitement de l'interface. Les courbes neutres et les modes propres temporels sont en accord avec la théorie de Floquet. Nous avons ensuite simulé le problème de Faraday dans des conditions d'apparition de motifs carrés et hexagonaux. Les spectres spatio-temporels des motifs simulés sont en accord avec l'expérience. Cependant, les hexagones se déstabilisent vers une alternance régulière de motifs de différentes symétries, suggérant la présence d'une orbite homocline. Nous avons élaboré un algorithme forçant la symétrie hexagonale pour déterminer le point fixe de cette orbite. Nous avons enfin réalisé une étude numérique de l'instabilité de dérive dans l'expérience de Faraday bidimensionnelle périodique. Un déplacement horizontal de motifs initialement immobiles avait été expérimentalement constaté lorsque les oscillations dépassaient un seuil secondaire. Les simulations ont confirmé ce résultat. Des diagrammes de bifurcation mettant en évidence des instabilités supplémentaires ont été tracés et complétés par une analyse spectrale spatio-temporelle.
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