On some applications of functions of bounded variation in finite and infinite dimension - Archive ouverte HAL Access content directly
Theses Year : 2011

On some applications of functions of bounded variation in finite and infinite dimension

Quelques applications des fonctions a variation bornee en dimension finie et infinie

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Abstract

The aim of this thesis is to investigate some applications of the functions of bounded variation and sets of finite perimeter. We mainly focus on applications in image processing, geometry and infinite dimensional analysis. We study first a Primal-Dual method proposed by Appleton and Talbot for solving some imaging problems. We give a new interpretation of this method which leads to a better mathematical understanding. This enables us for example to prove the convergence of the method and give new a posteriori estimates which are very important for numerical use. We then consider the problem of prescribed mean curvature surfaces in periodic environment. Using the theory of sets of finite perimeter, we prove existence of compact approximated solutions to this problem. We also study the asymptotic behavior of these solutions when their volume goes to infinity. The last two parts of the thesis are devoted to the study of some geometric problems in Wiener spaces. Studying on the one hand, the relationship between symmetrization, semi-continuity and isoperimetric inequalities, we compute the relaxation of the perimeter in this infinite dimensional setting and give an elliptic approximation of this lower semicontinuous envelope. On the other hand, we show convexity of the minimizers for some variational problems in Wiener spaces. One of the main ingredients in this study is the generalization of representations formulas for integral functionals in this setting.
Cette thèse a pour but d'étudier quelques applications des fonctions à variation bornée et des ensembles de périmètre fini. Nous nous intéressons en particulier à des applications en traitement d'images et en géométrie de dimension finie et infinie. Nous étudions tout d'abord une méthode dite Primale-Duale proposée par Appleton et Talbot pour la résolution de nombreux problèmes en traitement d'images. Nous réinterprétons cette méthode sous un oeil nouveau, ce qui aide à mieux la comprendre mathématiquement. Ceci permet par exemple de démontrer sa convergence et d'établir de nouvelles estimations a posteriori qui sont d'une grande importance pratique. Nous considérons ensuite le problème de courbure moyenne prescrite en milieu périodique. A l'aide de la théorie des ensembles de périmètre fini, nous démontrons l'existence de solutions approchées compactes de ce problème. Nous étudions également le comportement asymptotique de ces solutions lorsque leur volume tend vers l'infini. Les deux dernières parties de la thèse sont consacrées à l'étude de problèmes géométriques dans les espaces de Wiener. Nous étudions d'une part les liens entre symétrisations, semi-continuité et inégalités isopérimétriques ce qui permet d'obtenir un résultat d'approximation et de relaxation pour le périmètre dans ces espaces de dimension infinie. Nous démontrons d'autre part la convexité des solutions de certains problèmes variationnels dans ces espaces, en développant au passage l'étude de la semi-continuité et de la relaxation dans ce contexte.
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Dates and versions

pastel-00661393 , version 1 (19-01-2012)

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  • HAL Id : pastel-00661393 , version 1

Cite

Michael Goldman. On some applications of functions of bounded variation in finite and infinite dimension. Analysis of PDEs [math.AP]. Ecole Polytechnique X, 2011. English. ⟨NNT : 2011EPXX0058⟩. ⟨pastel-00661393⟩
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