Towards a novel approach for the calculation of many-body Green's functions
Vers une nouvelle méthode de calcul pour la fonction de Green à un corps
Résumé
In this work, a novel route to the calculation of the one particle Green's function (GF) has been developed. Its aim is to remedy to the shortcomings of other many-body approaches, e.g. the GW approximation (GWa), in treating strong effects of correlation in solids. The idea consists of solving a set of non-linear, differential, functional equations, which are pivotal to many-body perturbation theory. In a first instance, a so called 1-point model is employed (only one value for each time, spin, spatial variable is retained) and the set of equations reduces to a single algebraic equation, for which an explicit exact solution is obtained. The solution is used as a benchmark tool to analyze the performances of established many-body methods (e.g. different GW flavours), moreover alternative approximations are devised and for the most promising ones the generalization to their full functional form is discussed. The last part of the work deals with the generalization of the approach beyond the 1-point framework. First the frequency dependence of the GF is restored (while still retaining the 1-point approximation for the space and spin variables) and the set of equations is solved. It is shown that in such framework it is possible to recover the so-called cumulant expansion for the GF- an approximation which is beyond GW and provides accurate spectral functions for photo emission experiments. Finally, through an ansatz, a family of solution for the equations in their full functional form is obtained and routes to approximate the physical one, far beyond the present state-of-the-art, are proposed.
Dans ce travail, une nouvelle voie pour le calcul de la fonction de Green (GF) à une particule a été développée. L' objectif est de remédier aux défauts de nombreuses autres approches à plusieurs corps, par exemple l'approximation GW (GWA), dans le traitement des forts effets de corrélation dans les solides. L'idée consiste à résoudre un ensemble d'équations différentielles fonctionnelles et non-linéaires, qui sont centrales à la théorie des perturbations à plusieurs corps. Dans un premier temps, ce qu'on appelle le modèle à un 1-point est employé (une seule valeur pour chaque variable d'espace, temps, spin est retenue) et l'ensemble des équations se réduit alorsà une seule équation algébrique, pour laquelle une solution exacte et explicite est obtenue. La solution est utilisée comme outil de référence pour analyser les performances des autres méthodes bien établies (par exemple, des versions différentes de GW). Par ailleurs, des approximations alternatives sont conçues et pour les plus prometteuses la généralisation à la forme fonctionnelle (complète) est discutée. La dernière partie de cetravail aborde la généralisation de l'approche au-delà du cadre à1-point. Tout d'abord la dépendance en fréquence de la GF est restaurée (tout en conservant le modèle à un 1-point pour les variables d'espace et despin) et l'ensemble des équations est résolu. Il est montré que dans un tel cadre, il est possible de retrouver ce que l'on appelle "l'expansion en cumulants" pour GF- une approximation qui va au-delà de GW et fournit des fonctions spectrales en bon accord avec les expériences de photo-émission . Enfin, à l'aide d'un ansatz, une famille de solutions pour les equations dans leur forme fonctionnelle est obtenue et des moyens sont proposés, allant bien au delà de l'état de l'art, afin d'obtenir des approximations pour celles ayant une signification physique.