A posteriori error estimates for the time-dependent convection-diffusion-reaction equation and application to the finite volume methods

Estimations a posteriori pour l'équation de convection-diffusion-réaction instationnaire et applications aux volumes finis

Nancy Chalhoub (1)

1 CERMICS - Centre d'Enseignement et de Recherche en Mathématiques et Calcul Scientifique

We consider the time-dependent convection--diffusion--reaction equation. We derive a posteriori error estimates for the discretization of this equation by the cell-centered finite volume scheme in space and a backward Euler scheme in time. The estimates are established in the energy norm and they bound the error between the exact solution and a locally post processed approximate solution, based on H(div,Ω)-conforming diffusive and convective flux reconstructions, as well as an H¹₀(Ω)-conforming potential reconstruction. We propose an adaptive algorithm which ensures the control of the total error with respect to a user-defined relative precision by refining the meshes adaptively while equilibrating the time and space contributions to the error. We also present numerical experiments. Finally, we derive another a posteriori error estimate in the energy norm augmented by a dual norm of the time derivative and the skew symmetric part of the differential operator. The new estimate is robust in convective-dominated regimes and local-in-time and global-in-space lower bounds are also derived

On considère l'équation de convection--diffusion--réaction instationnaire. On s'intéresse à la dérivation d'estimations d'erreur a posteriori pour la discrétisation de cette équation par la méthode des volumes finis centrés par mailles en espace et un schéma d'Euler implicite en temps. Les estimations, qui sont établies dans la norme d'énergie, bornent l'erreur entre la solution exacte et une solution post-traitée à l'aide de reconstructions H(div,Ω)-conformes du flux diffusif et du flux convectif, et d'une reconstruction H¹₀(Ω)-conforme du potentiel. On propose un algorithme adaptatif qui permet d'atteindre une précision relative fixée par l'utilisateur en raffinant les maillages adaptativement et en équilibrant les contributions en espace et en temps de l'erreur. On présente également des essais numériques. Enfin, on dérive une estimation d'erreur a posteriori dans la norme d'énergie augmentée d'une norme duale de la dérivée en temps et de la partie antisymétrique de l'opérateur différentiel. Cette nouvelle estimation est robuste dans des régimes dominés par la convection et des bornes inférieures locales en temps et globales en espace sont également obtenues

Mots clés: A posteriori error estimates; Finite volume methods; Parabolic problems; Convection--diffusion--reaction; Adaptive algorithm

Mots clés: Estimation d'erreur a posteriori; Méthodes de volumes finis; Problèmes paraboliques; Convection--diffusion--réaction; Algorithme adaptatif

Domaines: Mathématiques générales [math.GM]

Nancy Chalhoub. Estimations a posteriori pour l'équation de convection-diffusion-réaction instationnaire et applications aux volumes finis. Mathématiques générales [math.GM]. Université Paris-Est, 2012. Français. ⟨NNT : 2012PEST1065⟩. ⟨pastel-00794392⟩