Two arithmetic applications of Arthur's work
Deux applications arithmétiques des travaux d'Arthur
Résumé
We present two arithmetic applications of James Arthur's endoscopic classification of the discrete automorphic spectrum for symplectic and orthogonal groups. The first one consists in removing the irreducibility assumption in a theorem of Richard Taylor describing the image of complex conjugations by p-adic Galois representations associated with regular, algebraic, essentially self-dual, cuspidal automorphic representations of GL_{2n+1} over a totally real number field. We also extend it to the case of representations of GL_{2n} whose multiplicative character is ''odd''. We use a p-adic deformation argument, more precisely we prove that on the eigenvarieties for symplectic and even orthogonal groups, there are ''many'' points corresponding to (quasi-)irreducible Galois representations. Arthur's endoscopic classification is used to define these Galois representations, and also to transfer self-dual automorphic representations of the general linear group to these classical groups. The second application concerns the explicit computation of dimensions of spaces of automorphic or modular forms. Our main contribution is an algorithm computing orbital integrals at torsion elements of an unramified p-adic classical group, for the unit of the unramified Hecke algebra. It allows to compute the geometric side in Arthur's trace formula, and thus the Euler characteristic of the discrete spectrum in level one. Arthur's endoscopic classification allows to analyse precisely this Euler characteristic, and deduce the dimensions of spaces of level one automorphic forms. The dimensions of spaces of vector-valued Siegel modular forms, which constitute a more classical problem, are easily derived.
Nous proposons deux applications à l'arithmétique des travaux récents de James Arthur sur la classification endoscopique du spectre discret des groupes symplectiques et orthogonaux. La première consiste à ôter une hypothèse d'irréductibilité dans un résultat de Richard Taylor décrivant l'image des conjugaisons complexes par les représentations galoisiennes p-adiques associées aux représentations automorphes cuspidales algébriques régulières essentiellement autoduales pour le groupe GL_{2n+1} sur un corps totalement réel. Nous l'étendons également au cas de GL_{2n}, sous une hypothèse de parité du caractère multiplicatif. Nous utilisons un résultat de déformation p-adique. Plus précisément, nous montrons l'abondance de points correspondant à des représentations galoisiennes (quasi-)irréductibles sur les variétés de Hecke pour les groupes symplectiques et orthogonaux pairs. La classification d'Arthur est utilisée à la fois pour définir les représentations galoisiennes et pour transférer des représentations automorphes autoduales (pas nécessairement cuspidales) de groupes linéaires aux groupes symplectiques et orthogonaux. La deuxième application concerne le calcul explicite de dimensions d'espaces de formes automorphes ou modulaires. Notre contribution principale est un algorithme calculant les intégrales orbitales aux éléments de torsion des groupes classiques p-adiques non ramifiés, pour l'unité de l'algèbre de Hecke non ramifiée. Cela permet le calcul du côté géométrique de la formule des traces d'Arthur, et donc celui de la caractéristique d'Euler du spectre discret en niveau un. La classification d'Arthur permet l'analyse fine de cette caractéristique d'Euler, jusqu'à en déduire les dimensions des espaces de formes automorphes. De là il n'est pas difficile d'apporter une réponse à un problème plus classique: déterminer les dimensions des espaces de formes modulaires de Siegel à valeurs vectorielles.
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