Nonlinear Vibrations of Thin Rectangular Plates: A Numerical Investigation with Application to Wave Turbulence and Sound Synthesis

Vibrations non linéaires de plaques rectangulaires minces : une étude numérique avec applications à la turbulence d'ondes et à la synthèse sonore

Michele Ducceschi (1)

1 UME - Unité de Mécanique

Thin plate vibrations display a rich and complex dynamics that ranges from linear to strongly nonlinear regimes when increasing the vibration amplitude with respect to the thickness. This thesis is concerned with the development of a numerical code able to simulate without restrictions this large spectrum of dynamical features, described by the von Kármán equations, in the case of flat, homogeneous plates presenting a rectangular geometry. The main application of such a code is to produce gong-like sounds, in the context of sound synthesis by physical modelling. For that, a modal approach is used, in order to reduce the original Partial Differential Equations to a set of couped Ordinary Differential Equations. An energy-conserving, second-order accurate time integration scheme is developed in order to yield a stability condition. The most appealing features of the modal scheme are its accuracy and the possibility of implementing a rich loss mechanism by selecting an appropriate damping factor for each one of the modes. The sound produced by the numerical code is systematically compared to another numerical technique based on Finite Difference techniques. Fundamental aspects of the physics of nonlinear vibrations are also considered in the course of this work. When a plate vibrates in a weakly nonlinear regime, modal couplings produce amplitude-dependent vibrations, internal resonances, instabilities, jumps and bifurcations. The modal scheme is used to construct and analyse the nonlinear response of the plate in the vicinity of its first eigenfrequencies, both in free and forced-damped vibrations, showing as a result the effect of damping and forcing on the nonlinear normal modes of the underlying Hamiltonian system. When plates vibrate in a strongly nonlinear regime, the most appropriate description of the dynamics is given in terms of the statistical properties of the system, because of the vast number of interacting degrees-of-freedom. Theoretically, this framework is offered by the Wave Turbulence theory. Given the large amount of modes activated in such vibrations, a Finite Difference, energy-conserving code is preferred over the modal scheme. Such a scheme allows to produce a cascade of energy including thousands of modes when the plate is forced sinusoidally around one of its lowest eigenfrequencies. A statistical interpretation of the outcome of the simulation is offered, along with a comparison with experimental data and other numerical results found in the literature. In particular, the effect of the pointwise forcing as well as geometrical imperfections of the plates are analysed.

Les vibrations de plaques minces présentent des dynamiques très riches et variées, allant de comportements linéaire à fortement non linéaire en fonction de leur amplitude par rapport à l'épaisseur. Cette thèse présente le développement d'un code numérique capable de simuler sans restriction cette dynamique complexe, décrite par les équations de Von Karman, dans le cas de plaques homogènes et présentant une géométrie rectangulaire. L'application principale de ce code est de produire des sons de cymbales et de gongs: cette partie du travail s'inscrit donc dans le contexte de la synthèse sonore par modélisation physique. Pour cela, une approche modale est utilisée, afin de réduire les équations aux dérivées partielles à un ensemble d'équations différentielles ordinaires couplées. Un schéma d'intégration temporelle est proposé, pour lequel la conservation de l'énergie produit une condition de stabilité. Les caractéristiques les plus intéressantes du schéma modal sont sa précision et la possibilité de mettre en place des lois d'amortissements complexes à moindre coût. Le son produit par le code numérique est systématiquement comparée à celui calculé par une autre méthode fondée sur les techniques de différences finies . Les aspects fondamentaux de la physique des vibrations non linéaires sont également pris en compte au cours de ce travail. Lorsqu'une plaque vibre dans un régime faiblement non linéaire, les couplages modaux produisent des vibrations qui dépendent de l'amplitude, des résonances internes, des instabilités, des sauts et des bifurcations. Le schéma modal est utilisée pour construire et analyser la réponse non linéaire de la plaque au voisinage de ses premières fréquences propres, dans un cas conservatif, puis en prenant en compte les effets de l'amortissement et du forçage, montrant ainsi leurs effets sur les modes normaux non linéaires du système hamiltonien. Lorsque les plaques vibrent dans un régime fortement non linéaire, la description la plus appropriée de la dynamique est donnée en termes des propriétés statistiques du système, en raison de la multitude de degrés de liberté activés. Théoriquement, ce cadre est offert par la théorie de turbulence d'ondes. À cause de la grande quantité de modes activés dans de telles vibrations, le code en différence finie conservatif est préféré au schéma modal. Lorsque la plaque est excitée avec un forçage sinusoïdal autour d'un de ses modes propres de basse fréquence, une cascade d'énergie se produit, activant des milliers de modes à plus hautes fréquences. Une interprétation statistique des résultats des simulations est proposée, ainsi qu'une comparaison avec des données expérimentales et des autres résultats numériques trouvés dans la littérature. En particulier, les effets du forçage ponctuel ainsi que des imperfections géométriques des plaques sont analysées.

Mots clés: plaques minces; synthèse sonore; dynamique non linéaire; gongs; von karman

Domaines: Vibrations [physics.class-ph]; Vibrations [physics.class-ph]

Michele Ducceschi. Nonlinear Vibrations of Thin Rectangular Plates: A Numerical Investigation with Application to Wave Turbulence and Sound Synthesis. Vibrations [physics.class-ph]. ENSTA ParisTech, 2014. English. ⟨NNT : ⟩. ⟨pastel-01068284⟩