Chaînes de Spins, Fermions de Dirac, et Systèmes Désordonnés
Résumé
The first part is dedicated to quantum spin chains. We first study quantum spin systems that
are continuously connected to the Heisenberg spin chain s=1. We build a non-linear sigma model
to estimate the spin gap of those systems.
Next we study a s=1/2 spin chain doped by non-magnetic impurities but which
nevertheless possess a nuclear spin. We use abelian bosonization to calculate the longitudinal relaxation rate
of an impurity and its dependence in the temperature. Logarithmic corrections to its behavior are also given.
We perform the same analysis on a chiral Luttinger liquid, such as a quantum lead cut in half.
The second part deals with disordered systems in low dimension. We shed light upon formal links
between disordered systems on a network, random Dirac fermions, non-compact superspin chain and
non-linear sigma model. Details are given on the example of the plateau transition in the integer
quantum Hall effect. Then we perform exact calculations of the densities of states and typical
localization lengths of a Dirac fermion in 1 dimension in various types of disorder.
Many condensed matter systems are equivalent to this model, such as the random XX quantum spin chain.
Next we study random Dirac fermions in 2 dimensions. Specifically, we are concerned with the problem
of Dirac fermions with random mass. This model describes low energy excitations of a
disordered $d$-wave superconductor, which impurities are magnetic. A phase diagram is proposed.
It is built around the tricritical point of free Dirac fermions and shows an unexpected metallic
phase for thermal conduction.
are continuously connected to the Heisenberg spin chain s=1. We build a non-linear sigma model
to estimate the spin gap of those systems.
Next we study a s=1/2 spin chain doped by non-magnetic impurities but which
nevertheless possess a nuclear spin. We use abelian bosonization to calculate the longitudinal relaxation rate
of an impurity and its dependence in the temperature. Logarithmic corrections to its behavior are also given.
We perform the same analysis on a chiral Luttinger liquid, such as a quantum lead cut in half.
The second part deals with disordered systems in low dimension. We shed light upon formal links
between disordered systems on a network, random Dirac fermions, non-compact superspin chain and
non-linear sigma model. Details are given on the example of the plateau transition in the integer
quantum Hall effect. Then we perform exact calculations of the densities of states and typical
localization lengths of a Dirac fermion in 1 dimension in various types of disorder.
Many condensed matter systems are equivalent to this model, such as the random XX quantum spin chain.
Next we study random Dirac fermions in 2 dimensions. Specifically, we are concerned with the problem
of Dirac fermions with random mass. This model describes low energy excitations of a
disordered $d$-wave superconductor, which impurities are magnetic. A phase diagram is proposed.
It is built around the tricritical point of free Dirac fermions and shows an unexpected metallic
phase for thermal conduction.
La première partie de cette thèse traite des chaînes de spins quantiques. On étudie tout d'abord des systèmes de spins quantiques qui sont reliés de façon continue à la chaîne de Heisenberg s=1. La construction d'un modèle sigma non-linéaire permet d'estimer le gap de ces systèmes. On étudie ensuite une chaîne de spins s=1/2 dopée par des impuretés non-magnétiques possédant un spin nucléaire. A l'aide de techniques de bosonisation, on calcule analytiquement le temps de relaxation longitudinal d'une impureté en fonction de la température, corrections logarithmiques incluses. Ce type d'analyse est également mené sur un liquide de Luttinger chiral, modélisant par exemple un demi-fil quantique. La deuxième partie est consacrée aux systèmes désordonnées en basse dimension. Des liens formels sont éclaircis entre modèle désordonné sur réseau, fermions de Dirac en milieu aléatoire, chaînes de spins supersymétriques non-compactes et modèle sigma non-linéaire. Le détail des calculs est donné sur l'exemple de la transition entre plateaux de l'effet Hall quantique entier. On calcule ensuite exactement les densités d'états et les longueurs de localisation typiques d'un fermion de Dirac en dimension 1 dans des potentiels aléatoires de différentes natures. De nombreux modèles de théorie de la matière condensée, comme par exemple la chaîne XX désordonnée, se ramènent à ce système. Puis nous étudions les fermions de Dirac en dimension 2 en milieu aléatoire. Plus particulièrement, nous analysons le cas de fermions en masse aléatoire. Ce modèle décrit les excitations de basse énergie d'un supraconducteur d'onde $d$ dont les impuretés sont magnétiques. Un diagramme de phase est proposé. Il s'articule autour du point tricritique des fermions de Dirac libres et fait apparaître une phase métallique thermique inattendue.
Mots clés
Chaînes de spins quantiques
Chaînes de spins inhomogènes
Modèle sigma non-linéaire
Bosonisation
Temps de relaxation
Milieux désordonnés
Effet Hall quantique entier. Fermions de Dirac. Supraconducteur haute-température.
Effet Hall quantique entier. Fermions de Dirac. Supraconducteur haute-température