Méthodes de relaxation pour les équations de Navier-Stokes compressibles
Résumé
On présente une nouvelle méthode de relaxation pour résoudre les équations de Navier-Stokes compressibles munies d'une loi de pression générale. La méthode s'inspire de la décomposition de l'énergie interne introduite par Coquel et Perthame (SIAM J. Numer. Anal., 35 (6), 2223-2249, 1998) pour les équations d'Euler. Elle conserve, en particulier, les mêmes conditions "sous-caractéristiques" pour l'exposant adiabatique du gaz fictif intervenant dans la relaxation. Dans cette thèse, on introduit une décomposition des flux diffusifs (tenseur des contraintes visqueuses et flux de chaleur) qui assure la stabilité du processus de relaxation via la positivité de la production d'entropie. Une analyse asymptotique au premier ordre autour de l'état d'équilibre permet également de montrer la stabilité du système relaxé, mais avec une décomposition différente du flux de chaleur. On présente ensuite une implémentation numérique de la méthode de relaxation. Celle-ci est mise en oeuvre en considérant une méthode mixte volume finis/éléments finis applicable à des maillages triangulaires non structurés avec un schéma d'ordre 3 en espace (méthode MUSCL et B-schéma) en temps basé sur une méthode de Runge-Kutta à 4 pas. Enfin, on valide la nouvelle méthode de relaxation sur 3 cas tests : advection d'un réseau périodique de vortex, interaction entre un spot de température et un choc et interaction entre un choc et un couche limite.