Méthodes numériques pour le contrôle et la stabilisation rapide de grandes structures flexibles
Résumé
L'objectif de cette thèse est d'étudier numériquement la contrôlabilité exacte et la stabilisation rapide de multistructures flexibles composées de poutres d'Euler-Navier-Bernoulli. On utilise la méthode HUM de J.-L. Lions (resp. une variante proposée par V. Komornik) qui s'exprime directement au niveau continu et qui fournit un algorithme constructif de lois de contrôle frontière en boucle ouverte (resp. fermée) permettant de contrôler exactement (resp. de stabiliser de façon arbitrairement rapide) ces multistructures. On applique une méthode de superposition modale pour calculer le contrôle approché et on propose différentes méthodes pour calculer la réponse approchée de la poutre. L'étape fondamentale de notre méthode de discrétisation consiste à calculer avec une grande précision le grammien de contrôlabilité (resp. de stabilisabilité), terme celf de la méthode, en définissant une forme très faible des termes de bords discrets qu'ils contiennent. En boucle fermée, une formulation dite semi-très faible a été introduite ; elle permet de définir une méthode d'approximation stable pour le contrôle en déplacement. Le taux de décroissance exponentielle est indépendant de la discrétisation retenue et s'avère toujours deux fois plus grand que celui prédit par Komornik. Des résultats théoriques en cours d'établissement semblent d'ailleurs montrer que, sous certaines hypothèses, on peut effectivement démontrer cette propriété. Etant donné que nous voulons construire des lois réalistes du point de vue mécanique, on applique la méthode HUM pour construire des contrôles réguliers et on propose une régularisation de la loi de Komornik. Après une étude numérique approfondie de ces deux lois, on les appliquera aux treillis de poutres d'Euler-Navier-Bernoulli en utilisant les mêmes algorithmes constructifs et les mêmes techniques d'approximation, tout en élargissant la classe des actionneurs applicables. Une condition suffisante sur l'horizon de contrôlabilité et la disposition des actionneurs pour que de telles multistructures soient contrôlables exactement, est que le grammien de contrôlabilité vérifie une inégalité d'observabilité. Cela revient à obtenir une estimation de la constante de coercivité du grammien de contrôlabilité (resp. de stabilisabilité) qui permet de mesurer l'efficacité du contrôle exercé. C'est à partir de cette observation que F. Bourquin a proposé un test numérique discriminant qui donne une information sur la contrôlabilité exacte (ou la non-contrôlabilité exacte) des multistructures sur lesquelles s'exercent les contrôles HUM. On vérifiera la validité de ce test en comparant les conclusions qu'il donne, quand on l'applique à différents treillis de poutres d'Euler-Navier-Bernoulli, aux résultats théoriques de J. Lagnese, G. Leugering et E.J.P.G. Schmidt.
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