Local regularity analysis, some applications to multifractal analysis
Analyse de régularité locale, quelques applications à l'analyse multifractale
Abstract
In many scientific domains (signal and image processing, fully developed turbulence), it is important both from a theoretical and a practical viewpoint to be able to detect and to characterize the
singularities of an object. This object can either be a function, a
distribution, a measure or a process.
The first part of my work is focused on the characterization of the
local regularity of a function. One often measures the local regularity of a function $f$ around a point $x_0$ by computing the
(\em pointwise \ho exponent) of $f$ at $x_0$, denoted by $\alp(x_0)$. Unfortunately this exponent does not describe completely the behavior of $f$ around $x_0$.
The local \ho exponent of $f$ at $x_0$, denoted by $\all(x_0)$,
brings new informations on this behavior. I studied the functions
$x\mapsto \all(x)$ and $x\mapsto \alp(x)$, and their mutual
relationships: they must coincide on an uncountable dense set, but
they can differ everywhere except on a set of Hausdorff dimension
0. This shows that these exponents are somehow complementary. The
proof of these results involves wavelet coefficients.
The 2-microlocal spaces introduced by J.M. Bony, denoted by $\css'$, allow us to generalize the notion of regularity exponents for a distribution.I first found a new spatial characterization of these spaces, valid for the functions $f\in C^\ep$ ($\ep>0$). This characterization appears to be useful in signal processing, since it is very accessible from a numerical point of view.
Using 2-microlocal spaces $\css'$, one can associate with every point $x_0$ not only a single exponent, but a whole curve in $\R^2$. This curve $\Gamma$, called 2-microlocal frontier, possesses remarkable properties: it is convex, with a derivative always smaller than -1, and all the usual regularity exponents can be recovered from the knowledge of $\Gamma$. It thus yields a geometrical description of the local regularity of a distribution at a point. With J. Lévy Véhel, I proved that the 2-microlocal frontier of a distribution $f$ at $x$ is the Legendre transform of a function called 2-microlocal spectrum (denoted by $\chi_(x_0)$): this relationship is called 2-microlocal formalism, by analogy with the multifractal formalism. $\chi_(x_0)$ is related to the value of the wavelet coefficients of $f$ around $x_0$. The study of this function $\chi_(x_0)$ and of the 2-microlocal formalism brings in fact a new and unifying point of view on the local regularity analysis of continuous functions, and is fruitful: for instance, we investigated the relations with the usual exponents, we discovered new properties and new compatibility conditions between 2-microlocal frontiers. The explicit computation of $\chi_(x_0)$ is performed for several famous functions: a ``chirp'', a ``cusp'', the Weierstrass Function, the ``non-differentiable'' Riemann function.
Another part of my work is devoted to multifractal analysis of
measures and functions.
With J. Barral, I constructed multifractal functions and processes as follows. Let $\mu$ be a positive Borel measure, and let $s_0$ and $p_0$ be two positive real numbers. We define the functions $F_\mu$ by $$F_\mu(x)=\sum_(j\geq 0) \sum_(k\in \mathbb(Z)) \pm
2^(-j(s_0-\frac(1)(p_0))) |\mu\big ([k2^(-j),(k+1)2^(-j))\big
)|^(\frac(1)(p_0)) \psijk(x).$$ We proved that if $\mu$ satisfies some multifractal formalism (for measures), then $F_\mu$ also
satisfies a multifractal formalism (for functions). This result
applies to classical families of measures: Quasi-Bernoulli, Random
Cascades, Mandelbrot Cascades, ... This theorem also brings an answer to a conjecture of Arnéodo, Bacry, Muzy on the value of the multifractal spectrum of ``Random Wavelet Cascades'', which serve as a model for a turbulent fluid.
Finally I investigated, for a function $f$, in the relationships between verification of the multifractal formalism and presence of fast oscillations. This work has an unexpected consequence: I showed that a threshold (comparable to the hard threshold) applied on the wavelet coefficients can create oscillations and can make the multifractal formalism fail.
singularities of an object. This object can either be a function, a
distribution, a measure or a process.
The first part of my work is focused on the characterization of the
local regularity of a function. One often measures the local regularity of a function $f$ around a point $x_0$ by computing the
(\em pointwise \ho exponent) of $f$ at $x_0$, denoted by $\alp(x_0)$. Unfortunately this exponent does not describe completely the behavior of $f$ around $x_0$.
The local \ho exponent of $f$ at $x_0$, denoted by $\all(x_0)$,
brings new informations on this behavior. I studied the functions
$x\mapsto \all(x)$ and $x\mapsto \alp(x)$, and their mutual
relationships: they must coincide on an uncountable dense set, but
they can differ everywhere except on a set of Hausdorff dimension
0. This shows that these exponents are somehow complementary. The
proof of these results involves wavelet coefficients.
The 2-microlocal spaces introduced by J.M. Bony, denoted by $\css'$, allow us to generalize the notion of regularity exponents for a distribution.I first found a new spatial characterization of these spaces, valid for the functions $f\in C^\ep$ ($\ep>0$). This characterization appears to be useful in signal processing, since it is very accessible from a numerical point of view.
Using 2-microlocal spaces $\css'$, one can associate with every point $x_0$ not only a single exponent, but a whole curve in $\R^2$. This curve $\Gamma$, called 2-microlocal frontier, possesses remarkable properties: it is convex, with a derivative always smaller than -1, and all the usual regularity exponents can be recovered from the knowledge of $\Gamma$. It thus yields a geometrical description of the local regularity of a distribution at a point. With J. Lévy Véhel, I proved that the 2-microlocal frontier of a distribution $f$ at $x$ is the Legendre transform of a function called 2-microlocal spectrum (denoted by $\chi_(x_0)$): this relationship is called 2-microlocal formalism, by analogy with the multifractal formalism. $\chi_(x_0)$ is related to the value of the wavelet coefficients of $f$ around $x_0$. The study of this function $\chi_(x_0)$ and of the 2-microlocal formalism brings in fact a new and unifying point of view on the local regularity analysis of continuous functions, and is fruitful: for instance, we investigated the relations with the usual exponents, we discovered new properties and new compatibility conditions between 2-microlocal frontiers. The explicit computation of $\chi_(x_0)$ is performed for several famous functions: a ``chirp'', a ``cusp'', the Weierstrass Function, the ``non-differentiable'' Riemann function.
Another part of my work is devoted to multifractal analysis of
measures and functions.
With J. Barral, I constructed multifractal functions and processes as follows. Let $\mu$ be a positive Borel measure, and let $s_0$ and $p_0$ be two positive real numbers. We define the functions $F_\mu$ by $$F_\mu(x)=\sum_(j\geq 0) \sum_(k\in \mathbb(Z)) \pm
2^(-j(s_0-\frac(1)(p_0))) |\mu\big ([k2^(-j),(k+1)2^(-j))\big
)|^(\frac(1)(p_0)) \psijk(x).$$ We proved that if $\mu$ satisfies some multifractal formalism (for measures), then $F_\mu$ also
satisfies a multifractal formalism (for functions). This result
applies to classical families of measures: Quasi-Bernoulli, Random
Cascades, Mandelbrot Cascades, ... This theorem also brings an answer to a conjecture of Arnéodo, Bacry, Muzy on the value of the multifractal spectrum of ``Random Wavelet Cascades'', which serve as a model for a turbulent fluid.
Finally I investigated, for a function $f$, in the relationships between verification of the multifractal formalism and presence of fast oscillations. This work has an unexpected consequence: I showed that a threshold (comparable to the hard threshold) applied on the wavelet coefficients can create oscillations and can make the multifractal formalism fail.
Il est fondamental, dans beaucoup de domaines (étude de la
turbulence , traitement du signal), mais également d'un point de vue théorique, de pouvoir détecter et caractériser les singularités d'une fonction ou d'une distribution. Pour mesurer la régularité autour d'un point $x_0$ d'une fonction $f$, on utilise souvent l'exposant ponctuel de \ho de $f$ en $x_0$, noté $\alp(x_0)$. Mais cet exposant n'est pas suffisant pour décrire entièrement les comportements locaux.
L'exposant de \ho local, noté $\all(x_0)$, permet de compléter les
informations procurées par $\alp(x_0)$. Les relations entre les
fonctions $x\ra \all(x)$ et $x\ra\alp(x)$ sont complètement mises a
jour.
Les espaces 2-microlocaux, notés $\css'$, permettent de généraliser la notion d'exposant de régularité. Une caractérisation temporelle des espaces $\css'$ pour les fonctions $C^\ep$ ($\ep>0$) est démontrée. Cela s'avère utile en traitement du signal, car accessible numériquement (FRACLAB).
Les espaces $\css'$ permettent d'associer à un point non plus un ou
plusieurs exposants, mais une courbe dans $\R^2$ appelée frontière
2-microlocale. Cette dernière englobe les exposants cités plus
haut, et donne une description géométrique de la régularité
locale. On montre que la frontière 2-microlocale d'une distribution $f$ en $x_0$ est la transformée de Legendre d'une fonction $\chi_(x_0)$ appelée (\em spectre 2-microlocal): on parle du formalisme 2-microlocal. $\chi_(x_0)$ est lié au comportement des coefficients d'ondelettes de $f$ autour de $x_0$. L'étude de
$\chi_(x_0)$ et du formalisme 2-microlocal s'avère fructueuse: les
liens avec les exposants sont explicités, des propriétés
nouvelles de la régularité sont mises en évidence. Le calcul de
$\chi_(x_0)$ est effectué pour plusieurs fonctions classiques ou
originales.
Deux applications du spectre 2-microlocal à l'analyse multifractale
sont présentées. Nous proposons la construction de fonctions et
processus multifractals. étant donnée une mesure de Borel positive
$\mu$ et deux réels positifs $s_0$ et $p_0$ vérifiant
$s_0-1/p_0>0$, on étudiera la fonction $F_\mu$
$$F_\mu(x)=\sum_(j\geq 0) \sum_(k\in \mathbb(Z)) \pm
2^(-j(s_0-\frac(1)(p_0))) |\mu\big ([k2^(-j),(k+1)2^(-j))\big
)|^(\frac(1)(p_0)) \psijk(x).$$ Si $\mu$ satisfait un certain
formalisme multifractal (proche du formalisme usuel) pour les mesures, alors la fonction $F_\mu$ satisfait au formalisme multifractal pour les fonctions. Ce résultat s'applique aux grandes classes de mesures multifractales: quasi-Bernoulli, cascades de Mandelbrot, ... En particulier, on résout ainsi la conjecture de Arnéodo, Bacry, Muzy sur la valeur du spectre de leurs cascades aléatoires d'ondelettes, qui servaient de modèle à un fluide turbulent.
Enfin la relation entre présence d'oscillations et validité du
formalisme multifractal est étudiée. Ce travail a une conséquence
inattendue: on montre qu'un seuillage effectué sur les coefficients
d'ondelettes peut créer des singularités oscillantes et faire
échouer le formalisme.
turbulence , traitement du signal), mais également d'un point de vue théorique, de pouvoir détecter et caractériser les singularités d'une fonction ou d'une distribution. Pour mesurer la régularité autour d'un point $x_0$ d'une fonction $f$, on utilise souvent l'exposant ponctuel de \ho de $f$ en $x_0$, noté $\alp(x_0)$. Mais cet exposant n'est pas suffisant pour décrire entièrement les comportements locaux.
L'exposant de \ho local, noté $\all(x_0)$, permet de compléter les
informations procurées par $\alp(x_0)$. Les relations entre les
fonctions $x\ra \all(x)$ et $x\ra\alp(x)$ sont complètement mises a
jour.
Les espaces 2-microlocaux, notés $\css'$, permettent de généraliser la notion d'exposant de régularité. Une caractérisation temporelle des espaces $\css'$ pour les fonctions $C^\ep$ ($\ep>0$) est démontrée. Cela s'avère utile en traitement du signal, car accessible numériquement (FRACLAB).
Les espaces $\css'$ permettent d'associer à un point non plus un ou
plusieurs exposants, mais une courbe dans $\R^2$ appelée frontière
2-microlocale. Cette dernière englobe les exposants cités plus
haut, et donne une description géométrique de la régularité
locale. On montre que la frontière 2-microlocale d'une distribution $f$ en $x_0$ est la transformée de Legendre d'une fonction $\chi_(x_0)$ appelée (\em spectre 2-microlocal): on parle du formalisme 2-microlocal. $\chi_(x_0)$ est lié au comportement des coefficients d'ondelettes de $f$ autour de $x_0$. L'étude de
$\chi_(x_0)$ et du formalisme 2-microlocal s'avère fructueuse: les
liens avec les exposants sont explicités, des propriétés
nouvelles de la régularité sont mises en évidence. Le calcul de
$\chi_(x_0)$ est effectué pour plusieurs fonctions classiques ou
originales.
Deux applications du spectre 2-microlocal à l'analyse multifractale
sont présentées. Nous proposons la construction de fonctions et
processus multifractals. étant donnée une mesure de Borel positive
$\mu$ et deux réels positifs $s_0$ et $p_0$ vérifiant
$s_0-1/p_0>0$, on étudiera la fonction $F_\mu$
$$F_\mu(x)=\sum_(j\geq 0) \sum_(k\in \mathbb(Z)) \pm
2^(-j(s_0-\frac(1)(p_0))) |\mu\big ([k2^(-j),(k+1)2^(-j))\big
)|^(\frac(1)(p_0)) \psijk(x).$$ Si $\mu$ satisfait un certain
formalisme multifractal (proche du formalisme usuel) pour les mesures, alors la fonction $F_\mu$ satisfait au formalisme multifractal pour les fonctions. Ce résultat s'applique aux grandes classes de mesures multifractales: quasi-Bernoulli, cascades de Mandelbrot, ... En particulier, on résout ainsi la conjecture de Arnéodo, Bacry, Muzy sur la valeur du spectre de leurs cascades aléatoires d'ondelettes, qui servaient de modèle à un fluide turbulent.
Enfin la relation entre présence d'oscillations et validité du
formalisme multifractal est étudiée. Ce travail a une conséquence
inattendue: on montre qu'un seuillage effectué sur les coefficients
d'ondelettes peut créer des singularités oscillantes et faire
échouer le formalisme.