Abstract : In many scientific domains (signal and image processing, fully developed turbulence), it is important both from a theoretical and a practical viewpoint to be able to detect and to characterize the
singularities of an object. This object can either be a function, a
distribution, a measure or a process.
The first part of my work is focused on the characterization of the
local regularity of a function. One often measures the local regularity of a function $f$ around a point $x_0$ by computing the
(\em pointwise \ho exponent) of $f$ at $x_0$, denoted by $\alp(x_0)$. Unfortunately this exponent does not describe completely the behavior of $f$ around $x_0$.
The local \ho exponent of $f$ at $x_0$, denoted by $\all(x_0)$,
brings new informations on this behavior. I studied the functions
$x\mapsto \all(x)$ and $x\mapsto \alp(x)$, and their mutual
relationships: they must coincide on an uncountable dense set, but
they can differ everywhere except on a set of Hausdorff dimension
0. This shows that these exponents are somehow complementary. The
proof of these results involves wavelet coefficients.
The 2-microlocal spaces introduced by J.M. Bony, denoted by $\css'$, allow us to generalize the notion of regularity exponents for a distribution.I first found a new spatial characterization of these spaces, valid for the functions $f\in C^\ep$ ($\ep>0$). This characterization appears to be useful in signal processing, since it is very accessible from a numerical point of view.
Using 2-microlocal spaces $\css'$, one can associate with every point $x_0$ not only a single exponent, but a whole curve in $\R^2$. This curve $\Gamma$, called 2-microlocal frontier, possesses remarkable properties: it is convex, with a derivative always smaller than -1, and all the usual regularity exponents can be recovered from the knowledge of $\Gamma$. It thus yields a geometrical description of the local regularity of a distribution at a point. With J. Lévy Véhel, I proved that the 2-microlocal frontier of a distribution $f$ at $x$ is the Legendre transform of a function called 2-microlocal spectrum (denoted by $\chi_(x_0)$): this relationship is called 2-microlocal formalism, by analogy with the multifractal formalism. $\chi_(x_0)$ is related to the value of the wavelet coefficients of $f$ around $x_0$. The study of this function $\chi_(x_0)$ and of the 2-microlocal formalism brings in fact a new and unifying point of view on the local regularity analysis of continuous functions, and is fruitful: for instance, we investigated the relations with the usual exponents, we discovered new properties and new compatibility conditions between 2-microlocal frontiers. The explicit computation of $\chi_(x_0)$ is performed for several famous functions: a ``chirp'', a ``cusp'', the Weierstrass Function, the ``non-differentiable'' Riemann function.
Another part of my work is devoted to multifractal analysis of
measures and functions.
With J. Barral, I constructed multifractal functions and processes as follows. Let $\mu$ be a positive Borel measure, and let $s_0$ and $p_0$ be two positive real numbers. We define the functions $F_\mu$ by $$F_\mu(x)=\sum_(j\geq 0) \sum_(k\in \mathbb(Z)) \pm
2^(-j(s_0-\frac(1)(p_0))) |\mu\big ([k2^(-j),(k+1)2^(-j))\big
)|^(\frac(1)(p_0)) \psijk(x).$$ We proved that if $\mu$ satisfies some multifractal formalism (for measures), then $F_\mu$ also
satisfies a multifractal formalism (for functions). This result
applies to classical families of measures: Quasi-Bernoulli, Random
Cascades, Mandelbrot Cascades, ... This theorem also brings an answer to a conjecture of Arnéodo, Bacry, Muzy on the value of the multifractal spectrum of ``Random Wavelet Cascades'', which serve as a model for a turbulent fluid.
Finally I investigated, for a function $f$, in the relationships between verification of the multifractal formalism and presence of fast oscillations. This work has an unexpected consequence: I showed that a threshold (comparable to the hard threshold) applied on the wavelet coefficients can create oscillations and can make the multifractal formalism fail.
Résumé : Il est fondamental, dans beaucoup de domaines (étude de la
turbulence , traitement du signal), mais également d'un point de vue théorique, de pouvoir détecter et caractériser les singularités d'une fonction ou d'une distribution. Pour mesurer la régularité autour d'un point $x_0$ d'une fonction $f$, on utilise souvent l'exposant ponctuel de \ho de $f$ en $x_0$, noté $\alp(x_0)$. Mais cet exposant n'est pas suffisant pour décrire entièrement les comportements locaux.
L'exposant de \ho local, noté $\all(x_0)$, permet de compléter les
informations procurées par $\alp(x_0)$. Les relations entre les
fonctions $x\ra \all(x)$ et $x\ra\alp(x)$ sont complètement mises a
jour.
Les espaces 2-microlocaux, notés $\css'$, permettent de généraliser la notion d'exposant de régularité. Une caractérisation temporelle des espaces $\css'$ pour les fonctions $C^\ep$ ($\ep>0$) est démontrée. Cela s'avère utile en traitement du signal, car accessible numériquement (FRACLAB).
Les espaces $\css'$ permettent d'associer à un point non plus un ou
plusieurs exposants, mais une courbe dans $\R^2$ appelée frontière
2-microlocale. Cette dernière englobe les exposants cités plus
haut, et donne une description géométrique de la régularité
locale. On montre que la frontière 2-microlocale d'une distribution $f$ en $x_0$ est la transformée de Legendre d'une fonction $\chi_(x_0)$ appelée (\em spectre 2-microlocal): on parle du formalisme 2-microlocal. $\chi_(x_0)$ est lié au comportement des coefficients d'ondelettes de $f$ autour de $x_0$. L'étude de
$\chi_(x_0)$ et du formalisme 2-microlocal s'avère fructueuse: les
liens avec les exposants sont explicités, des propriétés
nouvelles de la régularité sont mises en évidence. Le calcul de
$\chi_(x_0)$ est effectué pour plusieurs fonctions classiques ou
originales.
Deux applications du spectre 2-microlocal à l'analyse multifractale
sont présentées. Nous proposons la construction de fonctions et
processus multifractals. étant donnée une mesure de Borel positive
$\mu$ et deux réels positifs $s_0$ et $p_0$ vérifiant
$s_0-1/p_0>0$, on étudiera la fonction $F_\mu$
$$F_\mu(x)=\sum_(j\geq 0) \sum_(k\in \mathbb(Z)) \pm
2^(-j(s_0-\frac(1)(p_0))) |\mu\big ([k2^(-j),(k+1)2^(-j))\big
)|^(\frac(1)(p_0)) \psijk(x).$$ Si $\mu$ satisfait un certain
formalisme multifractal (proche du formalisme usuel) pour les mesures, alors la fonction $F_\mu$ satisfait au formalisme multifractal pour les fonctions. Ce résultat s'applique aux grandes classes de mesures multifractales: quasi-Bernoulli, cascades de Mandelbrot, ... En particulier, on résout ainsi la conjecture de Arnéodo, Bacry, Muzy sur la valeur du spectre de leurs cascades aléatoires d'ondelettes, qui servaient de modèle à un fluide turbulent.
Enfin la relation entre présence d'oscillations et validité du
formalisme multifractal est étudiée. Ce travail a une conséquence
inattendue: on montre qu'un seuillage effectué sur les coefficients
d'ondelettes peut créer des singularités oscillantes et faire
échouer le formalisme.