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Theses Year : 2005

Nearly Kähler manifolds and special geometries in dimension 6

Variétés de Gray et géométries spéciales en dimension 6

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Abstract

We consider 6-dimensional almost Hermitian manifolds with a further reduction to SU(3) induced by the differential of the Kähler form dω. We use the fact stressed by Hitchin that two differential forms – the Kähler form ω and a complex volume 3-form Ψ – are enough to define an SU(3)-structure on a 6-manifold. Moreover, by a result of Chiossi, Salamon, the differential of these forms determine the 1-jet of the SU(3)-structure. An important example is given by the nearly Kähler, non Kählerian manifolds in dimension 6. Here the reduction is global. We classify the homogeneous examples and, thanks to previous results of Cleyton, Swann and Nagy, solve positively the conjecture of Gray and Wolf that all strictly nearly Kähler homogeneous manifolds are 3-symmetric. Another result concerns a submanifold of the twistor space, called the “reduced twistor space” of an almost Hermitian manifold. This space is equipped with a natural almost complex structure which we show is integrable if and only if the manifold is locally conformal to a Bochner-flat Kähler manifold or to the sphere S6. Furthermore, in the course of the proof, we obtain the following reduction of the Gray-Hervella classification : every almost Hermitian manifold of type W1+W4 is locally conformally nearly Kähler in dimension 6.
On étudie des variétés presque hermitiennes de dimension 6 qui admettent une réduction supplémentaire à SU(3), induite par la partie de type (3,0) de la différentielle de la forme de Kähler dω. On se sert du fait constaté par Hitchin qu'une 2-forme ω et une 3-forme ψ, d'un certain type algébrique, sont suffisantes pour définir une structure SU(3) sur une variété de dimension 6, ainsi que du fait démontré par Chiossi, Salamon que les différentielles de ω, ψ mais aussi de φ, le dual de Hodge de ψ, déterminent le 1-jet de cette structure SU(3) en tout point. L'exemple privilégié de cette situation, où la réduction est globale, est celui des variétés « nearly Kähler » non kähleriennes en dimension 6, appelées par nous variétés de Gray. On classifie les variétés de Gray homogènes ce qui permet de résoudre une ancienne conjecture de Gray et Wolf : toutes les variétés strictement « nearly Kähler » homogènes sont des espaces 3-symétriques. Un autre résultat concerne une sous-variété naturelle de l'espace de twisteurs d'une variété presque hermitienne. Cet « espace de twisteurs réduit » est muni d'une structure presque complexe naturelle qu'on montre n'être intégrable que si la variété est localement conforme à une variété kählerienne, Bochner-plate ou à la sphère S6. En passant, on montre que les variétés de type W1+W4 dans la classification de Gray, Hervella (où W1 est la classe des variétés « nearly-Kähler » et W4 la classe des variétés localement conformément kähleriennes) sont localement conformes à des variétés nearly-Kähler, en dimension 6.
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Dates and versions

tel-00118939 , version 1 (07-12-2006)

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  • HAL Id : tel-00118939 , version 1

Cite

Jean-Baptiste Butruille. Variétés de Gray et géométries spéciales en dimension 6. Mathématiques [math]. Ecole Polytechnique X, 2005. Français. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-00118939⟩
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