Positivity in algebraic geometry and in Arakelov geometry: application in algebraization and in asymptotic study of Harder-Narasimhan polygons - Archive ouverte HAL Access content directly
Theses Year : 2006

Positivity in algebraic geometry and in Arakelov geometry: application in algebraization and in asymptotic study of Harder-Narasimhan polygons

Positivité en géométrie algébrique et en géométrie d'Arakelov :
application à l'algébrisation et à l'étude asymptotique des polygones de
Harder-Narasimhan

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Huayi Chen

Abstract

The objective of this thesis is to study various concepts of positivity, in algebraic geometry and in Arakelov geometry, for vector bundles on a projective variety, and to develop applications to the study of the algebraicity of formal sub-schemes of algebraic varieties and to the asymptotic study of Harder-Narasimhan polygons.

In the first part of the thesis, we propose a condition called P3 of a vector bundle on a projective variety of dimension at least 1. We show that this condition is weaker than the amplitude of the vector bundle, and in the context of complex algebraic geometry, is weaker that 1-positivity. We then show that the P3 condition for the normal bundle of the scheme of definition in the sub-formal scheme suffits to ensure the algebraicity of the sub-formal scheme. Finally, we apply this algebraicity criterion on the comparison of equivalence in a etale neighbourhood and that in a formal neighbourhood of two pairs of schemes. We also discuss the analogue of the P3 condition in the context of Arakelov geometry.

In the second part of this thesis, we propose a new point of view of the Harder-Narasimhan filtration of a vector bundle (resp. hermitian vector bundle) on a smooth projective curve (resp. the spectrum of a algebraic integer ring). With this point of view, in stead of study directly the Harder-Narasimhan filtration or polygon, we may study the associated Borel measure on R. Combing this interpretation with an combinatary argument, we show that, under some weak technical conditions, the (normalized) Harder-Narasimhan polygons associated to a graded algebra of finite type in (hermitian) vector bundles converge uniformly to a concave curve on [0,1], where the proof of the arithmetic part uses a new estimation of the maximum slope of the tensor product of several hermitian vector bundles which is developped in this thesis.
Le but de cette thèse est d'étudier diveres notions de positivité, dans le cadre de la géométrie algébrique et de la géométrie d'Arakelov, pour un fibré vectoriel sur une variété algébrique projective, et de développer des applications à l'étude de l'algébricité des sous-schémas formels des variété algébriques et du comportement asymptotique des polygones de Harder-Narasimhan.

Dans la première partie de la thèse, on propose une condition appelée P3 d'un fibré vectoriel sur une varété algébrique projective de dimension au moins 1. On vérifie que cette condition est plus faible que l'amplitude du fibré vectoriel et dans le cadre de la géométrie algébrique complexe, plus faible que la 1-positivité. On montre que si la condition P3 est vérifiée pour le fibré normal du schéma de définition dans un sous-schéma formel, alors on a l'algébricité du sous-schéma formel considéré. Enfin, on donne une application de ce critère à la comparaison de l'équivalence dans un voisinage étale et celle dans un voisinage formel de deux couples de schémas. Une analogue de la condition P3 dans le cadre de la géométrie d'Araklov est aussi étudiée.

Dans la deuxième partie de la thèse, on propose un nouveau point de vu de la filtration de Harder-Narasimhan d'un fibré vectoriel (resp. fibré vectoriel hermitien) sur une courbe projective lisse (resp. le spectre de un anneau des entiers algébriques). On en profite de ramener l'étude de la filtration (ou le polygone) de Harder-Narasimhan à celui de la mesure (borélienne sur R) associée. En combinant cette interprétation avec un argument combinatoire, on démontre que, sous des conditions techniques très faibles, les polygones de Harder-Narasimhan (normalisés) associés à une algèbre graduée de type fini en fibrés vectoriels (hermitiens) convergent uniformément vers une courbe concave sur [0,1], où la démonstration de la partie arithmétique utilise une nouvelle estimation de la pente maximale du produit tensoriel de plusieurs fibrés vectoriels hermitiens développée dans cette thèse.
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Dates and versions

tel-00119162 , version 1 (07-12-2006)
tel-00119162 , version 2 (24-01-2007)

Identifiers

  • HAL Id : tel-00119162 , version 2

Cite

Huayi Chen. Positivité en géométrie algébrique et en géométrie d'Arakelov :
application à l'algébrisation et à l'étude asymptotique des polygones de
Harder-Narasimhan. Mathématiques [math]. Ecole Polytechnique X, 2006. Français. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-00119162v2⟩
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