Processing Data in Lie Groups : An Algebraic Approach. Application to Non-Linear Registration and Diffusion Tensor MRI

Traitement de données dans les groupes de Lie : une approche algébrique. Application au recalage non-linéaire et à l'imagerie du tenseur de diffusion

Vincent Arsigny (1)

1 ASCLEPIOS - Analysis and Simulation of Biomedical Images

Recently, the need for rigorous frameworks for the processing of non-linear data has grown considerably in medical imaging. In this thesis, we propose several general frameworks to process various types of non-linear data, which all belong to Lie groups. To this end, we rely on the algebraic properties of these spaces. Thus, we propose a general processing framework for symmetric and positive-definite matrices, named Log-Euclidean, very simple to use and which has excellent theoretical properties. It is particularly well-adapted to the processing of diffusion tensor MRI. We also propose several frameworks, called polyaffine, to parameterize locally rigid or affine transformations, in a way that guarantees their invertibility. Their use is illustrated in the case of the locally rigid registration of histological slices and of the locally affine 3D registration of MRIs of the human brain. This led us to propose two general frameworks for computing statistics in finite-dimensional Lie groups: first the Log-Euclidean one, which generalizes our work on tensors, and second a framework based on the novel notion of bi-invariant mean, whose properties generalize to Lie groups those of the arithmetic mean. Finally, we generalize our Log-Euclidean framework to diffeomorphic geometrical transformations, which opens the way to a general and consistent framework for statistics in computational anatomy.

Ces dernières années, le besoin de cadres rigoureux pour traiter des données non-linéaires s'est développé considérablement en imagerie médicale. Ici, nous avons proposé plusieurs cadres généraux pour traiter certains de ces types de données, qui appartiennent à des groupes de Lie. Pour ce faire, nous nous sommes appuyés sur les propriétés algébriques de ces espaces. Ainsi, nous avons présenté un cadre de traitement général pour les matrices symétriques définies positives, appelé log-euclidien, très simple à utiliser et avec d'excellentes propriétés théoriques ; il est particulièrement adapté au traitement des images de tenseurs de diffusion. Nous avons également proposé des cadres, dits polyaffines, pour paramétrer les transformations localement rigides ou affines, en garantissant leur inversibilité avec d'excellentes propriétés théoriques. Leur utilisation est illustrée avec succès dans le cas du recalage localement rigide de coupes histologiques et du recalage 3D localement affine d'IRMs du cerveau humain. Ce travail nous a menés à proposer deux cadres généraux nouveaux pour le calcul de statistiques dans les groupes de Lie en dimension finie : d'abord le cadre log-euclidien, qui généralise notre travail sur les tenseurs, et un cadre basé sur la notion nouvelle de moyenne bi-invariante, dont les propriétés généralisent celles de la moyenne arithmétique des espaces euclidiens. Enfin, nous avons généralisé notre cadre log-euclidien aux déformations géométriques difféomorphes afin de permettre un calclul simple des statistiques sur ces transformations, ce qui ouvre la voie à un cadre général et cohérent pour les statistiques en anatomie computationnelle.

Mots clés: Riemannian geometry; Lie groups; Log-Euclidean metrics; Polyaffine transformations; Bi-invariant means; Diffeomorphisms; Non-rigid registration; DT-MRI; Tensors; Statistics; Fréchet means; Magnetic resonance imaging

Mots clés: géométrie Riemannienne; groupes de Lie; métriques log-euclidiennes; transformations polyaffines; moyennes bi-invariantes; difféomorphismes; recalage non-linéaire; IRM-TD; tenseurs; statistiques; moyennes de Fréchet; imagerie par résonance magnétique

Domaines: Interface homme-machine [cs.HC]

Vincent Arsigny. Processing Data in Lie Groups : An Algebraic Approach. Application to Non-Linear Registration and Diffusion Tensor MRI. Human-Computer Interaction [cs.HC]. Ecole Polytechnique X, 2006. English. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-00121162⟩