Stochastic control and numerical methods in financial mathematics
Contrôle stochastique et méthodes numériques en finance mathématique
Résumé
This PhD dissertation presents three independent research topics in the fields of numerical methods and stochastic control with applications to financial mathematics.
The first part of this thesis is dedicated to the estimation of the sensitivities of option prices, by means of non-parametric techniques. When the density of the underlying is unknown, we propose several non-parametric estimators of the so called Greeks, based on the randomization of the parameter of interest combined with Monte Carlo simulations and Kernel regression techniques. We provide an asymptotic analysis of the mean squared error of these estimators, as well as their asymptotic distributions. For a discontinuous payoff function, the kernel estimators outperforms the classical finite differences one in terms of the asymptotic rate of convergence. This result is confirmed by our numerical experiments.
The second part of this dissertation deals with the numerical resolution of systems of decoupled forward-backward stochastic differential equations with jumps. Assuming that the coefficients are Lipschitz-continuous, we propose a convergent discrete-time scheme whose rate of convergence is at least $n^{-1/2+e}$, for any $e>0$, when the number of time steps $n$ goes to infinity. Under additional regularity assumption the scheme achieves the optimal parametric convergence rate. The statistical error due to the non parametric approximation of conditional expectations is controlled and we provide the numerical solution of systems of coupled semilinear parabolic PDE's.
The third part of this thesis is concerned with the resolution of the optimal consumption-investment problem under a drawdown constraint, i.e. the wealth process never falls below a fixed fraction of its running maximum. We assume that the risky asset is driven by the constant coefficients Black and Scholes model and we consider a general class of utility functions. On an infinite time horizon, we provide the value function in explicit form, and we derive closed-form expressions for the optimal consumption and investment strategy. On a finite time horizon, we interpret the value function as the unique viscosity solution of its corresponding Hamilton-Jacobi-Bellman equation. This leads to a consistent numerical scheme of approximation and allows for a comparison with the explicit solution in infinite horizon.
The first part of this thesis is dedicated to the estimation of the sensitivities of option prices, by means of non-parametric techniques. When the density of the underlying is unknown, we propose several non-parametric estimators of the so called Greeks, based on the randomization of the parameter of interest combined with Monte Carlo simulations and Kernel regression techniques. We provide an asymptotic analysis of the mean squared error of these estimators, as well as their asymptotic distributions. For a discontinuous payoff function, the kernel estimators outperforms the classical finite differences one in terms of the asymptotic rate of convergence. This result is confirmed by our numerical experiments.
The second part of this dissertation deals with the numerical resolution of systems of decoupled forward-backward stochastic differential equations with jumps. Assuming that the coefficients are Lipschitz-continuous, we propose a convergent discrete-time scheme whose rate of convergence is at least $n^{-1/2+e}$, for any $e>0$, when the number of time steps $n$ goes to infinity. Under additional regularity assumption the scheme achieves the optimal parametric convergence rate. The statistical error due to the non parametric approximation of conditional expectations is controlled and we provide the numerical solution of systems of coupled semilinear parabolic PDE's.
The third part of this thesis is concerned with the resolution of the optimal consumption-investment problem under a drawdown constraint, i.e. the wealth process never falls below a fixed fraction of its running maximum. We assume that the risky asset is driven by the constant coefficients Black and Scholes model and we consider a general class of utility functions. On an infinite time horizon, we provide the value function in explicit form, and we derive closed-form expressions for the optimal consumption and investment strategy. On a finite time horizon, we interpret the value function as the unique viscosity solution of its corresponding Hamilton-Jacobi-Bellman equation. This leads to a consistent numerical scheme of approximation and allows for a comparison with the explicit solution in infinite horizon.
Cette thèse présente trois sujets de recherche indépendants appartenant au domaine des méthodes numériques et du contrôle stochastique avec des applications en mathématiques financières.
Nous présentons dans la première partie une méthode non-paramétrique d'estimation des sensibilités des prix d'options. A l'aide d'une perturbation aléatoire du paramètre d'intérêt, nous représentons ces sensibilités sous forme d'espérance conditionnelle, que nous estimons à l'aide de simulations Monte Carlo et de régression par noyaux. Par des arguments d'intégration par parties, nous proposons plusieurs estimateurs à noyaux de ces sensibilités, qui ne nécessitent pas la connaissance de la densité du sous-jacent, et nous obtenons leurs propriétés asymptotiques. Lorsque la fonction payoff est irrégulière, ils convergent plus vite que les estimateurs par différences finies, ce que l'on vérifie numériquement.
La deuxième partie s'intéresse à la résolution numérique de systèmes découplés d'équations différentielles stochastiques progressives rétrogrades. Pour des coefficients Lipschitz, nous proposons un schéma de discrétisation qui converge plus vite que $n^{-1/2+e}$, pour tout $e>0$, lorsque le pas de temps $1/n$ tends vers $0$, et sous des hypothèses plus fortes de régularité, le schéma atteint la vitesse de convergence paramétrique. L'erreur statistique de l'algorithme dûe a l'approximation non-paramétrique d'espérances conditionnelles est également controlée et nous présentons des exemples de résolution numérique de systèmes couplés d'EDP semi-linéaires.
Enfin, la dernière partie de cette thèse étudie le comportement d'un gestionnaire de fond, maximisant l'utilité intertemporelle de sa consommation, sous la contrainte que la valeur de son portefeuille ne descende pas en dessous d'une fraction fixée de son maximum courant. Nous considérons une classe générale de fonctions d'utilité, et un marché financier composé d'un actif risqué de dynamique black-Scholes. Lorsque le gestionnaire se fixe un horizon de temps infini, nous obtenons sous forme explicite sa stratégie optimale d'investissement et de consommation, ainsi que la fonction valeur du problème. En horizon fini, nous caractérisons la fonction valeur comme unique solution de viscosité de l'équation d'Hamilton-Jacobi-Bellman correspondante.
Nous présentons dans la première partie une méthode non-paramétrique d'estimation des sensibilités des prix d'options. A l'aide d'une perturbation aléatoire du paramètre d'intérêt, nous représentons ces sensibilités sous forme d'espérance conditionnelle, que nous estimons à l'aide de simulations Monte Carlo et de régression par noyaux. Par des arguments d'intégration par parties, nous proposons plusieurs estimateurs à noyaux de ces sensibilités, qui ne nécessitent pas la connaissance de la densité du sous-jacent, et nous obtenons leurs propriétés asymptotiques. Lorsque la fonction payoff est irrégulière, ils convergent plus vite que les estimateurs par différences finies, ce que l'on vérifie numériquement.
La deuxième partie s'intéresse à la résolution numérique de systèmes découplés d'équations différentielles stochastiques progressives rétrogrades. Pour des coefficients Lipschitz, nous proposons un schéma de discrétisation qui converge plus vite que $n^{-1/2+e}$, pour tout $e>0$, lorsque le pas de temps $1/n$ tends vers $0$, et sous des hypothèses plus fortes de régularité, le schéma atteint la vitesse de convergence paramétrique. L'erreur statistique de l'algorithme dûe a l'approximation non-paramétrique d'espérances conditionnelles est également controlée et nous présentons des exemples de résolution numérique de systèmes couplés d'EDP semi-linéaires.
Enfin, la dernière partie de cette thèse étudie le comportement d'un gestionnaire de fond, maximisant l'utilité intertemporelle de sa consommation, sous la contrainte que la valeur de son portefeuille ne descende pas en dessous d'une fraction fixée de son maximum courant. Nous considérons une classe générale de fonctions d'utilité, et un marché financier composé d'un actif risqué de dynamique black-Scholes. Lorsque le gestionnaire se fixe un horizon de temps infini, nous obtenons sous forme explicite sa stratégie optimale d'investissement et de consommation, ainsi que la fonction valeur du problème. En horizon fini, nous caractérisons la fonction valeur comme unique solution de viscosité de l'équation d'Hamilton-Jacobi-Bellman correspondante.
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