Multiscale modeling and numerical methods in nonlinear elasticity - PASTEL - Thèses en ligne de ParisTech Accéder directement au contenu
Thèse Année : 2007

Multiscale modeling and numerical methods in nonlinear elasticity

Modélisation et méthodes numériques multiéchelles en élasticité non linéaire

Résumé

The most important part of this work deals with the mathematical analysis of
numerical methods for the homogenization of multiple integrals widely used in nonlinear elasticity.
These methods couple, at the mesoscopic scale, a heterogeneous hyperelastic material or a network
of interacting bonds with, at the macroscopic scale, a nonlinear elasticity model. The macroscopic
constitutive law is obtained by solving mesoscopic problems, either continuous or discrete. In
chapters 1, 2, and 3, we introduce the mechanical models and mathematical tools we use in the
sequel. In chapters 5, 6, and 7, we present a direct method for the numerical solution of the
homogenized behavior of a periodic composite material at finite strains, and a general framework
to study numerical homogenization methods. We prove the convergence of such methods within
general hypotheses and provide a numerical corrector convergence result. We also extend the
analysis to cover the cases of oversampling and windowing. In chapters 8, 9, and 10, we consider
a mesoscopic model based on discrete systems of bonds. We first study a G-closure problem for
a network of conductances. In the next chapter, we prove an integral representation result for a
system of interacting spins. We then address the rigorous derivation of a continuous hyperelastic
model starting from a stochastic network of interacting points. We apply this result to prove
the convergence of discrete models for rubber developed in mechanics. In the last chapter, we
introduce a new solution method for fluid structure interaction problems with three dimensional
shell elements to describe the structure.
Ce travail porte principalement sur l'étude mathématique de méthodes numériques
pour l'homogénéisation de fonctionnelles intégrales utilisées en élasticité non linéaire. Ces mé-
thodes couplent, au niveau mésoscopique, un matériau hyperélastique hétérogène ou un réseau de
liens en interaction, avec, au niveau macroscopique, un modèle d'élasticité non linéaire. La loi de
constitution macroscopique est obtenue par la résolution de problèmes mésoscopiques, continus ou
discrets. Aux chapitres 1, 2 et 3 on introduit les modèles mécaniques et les outils mathématiques et
numériques utilisés par la suite. Aux chapitres 5, 6 et 7, on présente une méthode directe de réso-
lution numérique du comportement homogénéisé d'un matériau composite périodique en grandes
déformations et un cadre général pour l'analyse des méthodes d'homogénéisation numérique. On
démontre notamment la convergence de méthodes numériques classiques sous des hypothèses gé-
nérales ainsi qu'un résultat de correcteur numérique. On étend enfin les résultats au couplage avec
des méthodes de sur-échantillonnage. Aux chapitres 8, 9 et 10, nous considérons une modélisation
mésoscopique par un système discret. Nous étudions d'abord un problème de G-fermeture pour un
réseau de résistances. Au chapitre suivant nous démontrons un résultat de représentation intégrale
pour l'énergie d'un système de spins en interaction. Enfin, nous dérivons un modèle hyperélastique
continu à partir d'un réseau stochastique de points en interaction, et l'appliquons pour démontrer
la convergence de modèles discrets développés en mécanique. Dans une dernière partie, chapitre 11,
nous présentons une nouvelle méthode numérique pour résoudre des problèmes d'interaction fluide
structure, où la structure est décrite par une coque tridimensionnelle.
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Dates et versions

tel-00166171 , version 1 (02-08-2007)

Identifiants

  • HAL Id : tel-00166171 , version 1

Citer

Antoine Gloria. Multiscale modeling and numerical methods in nonlinear elasticity. Modeling and Simulation. Ecole des Ponts ParisTech, 2007. English. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-00166171⟩
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