BSDE: analysis of the discretization error and simulation using adaptive Monte Carlo methods;
Domain perturbations for American options
EDSR: analyse de discrétisation et résolution par méthodes de Monte Carlo adaptatives;
Perturbation de domaines pour les options américaines
Résumé
My thesis deals with two different themes of numerical probabilities and their financial applications: the first one is the approximation and the simulation of backward stochastic differential equations (BSDE). The second one concerns the American options and tackle their pricing using domain optimization and boundary perturbations.
The first part of my thesis analyzes the convergence of n, the time discretization of markovian BSDE (Y,Z). We establish a Taylor expansion for the error on (Y,Z): it strongly depends on the error on X. Had we been able to perfectly simulate X, we would have obtained an error on (Y,Z) of order 1/n.
The second part of my thesis is devoted to solving BSDE using Picard's procedure and a sequential Monte Carlo method. We prove that our algorithm converges geometrically fast. Moreover, the accuracy is independent (at the first order) of the number of Monte Carlo simulations.
The last part of my thesis presents basic results on the pricing of American options using an optimization of the exercise region. The keystone of such an approach is the ability of computing a gradient w.r.t the boundary. In continuous time, this work has been done by Costantini et al (2006). This thesis deals with the discrete time.
The first part of my thesis analyzes the convergence of n, the time discretization of markovian BSDE (Y,Z). We establish a Taylor expansion for the error on (Y,Z): it strongly depends on the error on X. Had we been able to perfectly simulate X, we would have obtained an error on (Y,Z) of order 1/n.
The second part of my thesis is devoted to solving BSDE using Picard's procedure and a sequential Monte Carlo method. We prove that our algorithm converges geometrically fast. Moreover, the accuracy is independent (at the first order) of the number of Monte Carlo simulations.
The last part of my thesis presents basic results on the pricing of American options using an optimization of the exercise region. The keystone of such an approach is the ability of computing a gradient w.r.t the boundary. In continuous time, this work has been done by Costantini et al (2006). This thesis deals with the discrete time.
Deux thématiques différentes des probabilités numériques et de leurs applications financières sont abordées dans ma thèse: l'une traite de l'approximation et de la simulation d'équations différentielles stochastiques rétrogrades (EDSR), l'autre est liée aux options américaines et les aborde du point de vue de l'optimisation de domaine et des perturbations de frontière.
La première partie de ma thèse revisite la question d'analyse de convergence dans la discrétisation en temps d' EDSR markoviennes (Y,Z) en une équation de programmation dynamique de n pas de temps. Nous établissons un développement limité à l'ordre 1 de l'erreur sur (Y,Z) : précisément, l'erreur trajectorielle sur X se transfère intégralement sur l'EDSR et montre ainsi que si X est approché avec précision ou simulé exactement, de meilleurs vitesses sont possibles (en 1/n).
La seconde partie de ma thèse s'intéresse à la résolution des EDSR via le procédé de Picard et les méthodes de Monte Carlo séquentielles. Nous avons montré que la convergence de notre algorithme a lieu à vitesse géométrique et avec une précision indépendante au 1er ordre du nombre de simulations.
La dernière partie de ma thèse regroupe des premiers résultats sur la valorisation d'options américaines par optimisation de la frontière d'exercice. La clé de voûte de ce type d'approche est la capacité à évaluer un gradient par rapport à la frontière. Le temps continu a été traité par Costantini et al (2006) et cette thèse couvre le cas discret des options Bermuda.
La première partie de ma thèse revisite la question d'analyse de convergence dans la discrétisation en temps d' EDSR markoviennes (Y,Z) en une équation de programmation dynamique de n pas de temps. Nous établissons un développement limité à l'ordre 1 de l'erreur sur (Y,Z) : précisément, l'erreur trajectorielle sur X se transfère intégralement sur l'EDSR et montre ainsi que si X est approché avec précision ou simulé exactement, de meilleurs vitesses sont possibles (en 1/n).
La seconde partie de ma thèse s'intéresse à la résolution des EDSR via le procédé de Picard et les méthodes de Monte Carlo séquentielles. Nous avons montré que la convergence de notre algorithme a lieu à vitesse géométrique et avec une précision indépendante au 1er ordre du nombre de simulations.
La dernière partie de ma thèse regroupe des premiers résultats sur la valorisation d'options américaines par optimisation de la frontière d'exercice. La clé de voûte de ce type d'approche est la capacité à évaluer un gradient par rapport à la frontière. Le temps continu a été traité par Costantini et al (2006) et cette thèse couvre le cas discret des options Bermuda.
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