On the identification of elastic moduli
Sur l'identification des modules elastiques
Résumé
The aim of this thesis is the identification of elastic moduli in an inhomogenous structure the framework of small deformations and linear elasticity. This is an inverse problem, where one seeks to determine the interior distribution of elastic moduli from simultanous force and displacement boundary measurements. The first chapter introduces the mathematical problem in analogy with the identification problem of the electrical conductivity. The application which gives consistency to this problem is the Dirichlet-to-Neumann data map. This application is equivalent to the application of "strain energy" and its expression depends on the Green function of the domain. The stability and and uniqueness questions are posed. The problem ill-posed and therefore weak stability is to be expected. The uniqueness question gives some problems in case of anisotropy. The second chapter presents a numerical method of reconstruction based on the notion of error on the constitutive law. The method uses extensively a decomposition of the intervening fields using eigenelastic moduli and eigentensors. These are the "eigenvalues" and "eigenvectors" of the elasticity tensor. The third chapter illustrates the minimization process of the error on the constitutive law in order to obtain distributions of elastic moduli. The examples are in bidimensional elasticity with isotropic or cubic symmetry. An inverse problem related to the measurement of residual stresses in presented in an appendix. It concerns the problem of reconstructing residual stresses from boundary X ray measurements after matter removal.
Le but de cette thèse est l'identification des modules élastiques dans une structure inhomogène en élasticité statique en petits déformations. Il s'agit d'un problème inverse, dans lequel il faut déterminer la distribution intérieure des modules élastiques à partir des mesures simultanées des forces et des déplacements sur la frontière. Le premier chapitre introduit le problème mathématique par analogie avec le problème d'identification de la conductivité électrique. L'application qui donne consistance au problème est l'application de Dirichlet-Neumann. Elle est équivalente à l'application "énergie de déformation" et son expression fait intervenir la fonction de Green du domaine. Se posent alors les problèmes d'unicité et de stabilité. Le problème est mal posé en ce qui concerne la stabilité. L'unicité pose de problèmes dans le cas de l'élasticité anisotrope. Le deuxième chapitre présent une méthode numérique de reconstruction fondée sur la notion d'erreur en loi de comportement. La méthode exploite une décomposition des champs impliqués utilisant les modules et les tenseurs propres, qui sont les "valeurs propres" et les "vecteurs propres" du tenseur de l'élasticité. Le troisième chapitre illustre par des exemples le processus de minimisation de l'erreur en loi de comportement de manière a obtenir la distribution des modules élastiques. Ceci est fait pour l'élasticité bi-dimensionnelle isotrope ou à symétrie cubique. Un problème inverse lié à la mesure des contraintes résiduelles est traité dans une annexe. Il s'agit de la reconstruction des contraintes résiduelles à partir des mesures faites en surface par la méthode des rayon X après un enlèvement de matière.
Loading...