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Theses Year : 2008

Entropy and local complexity of differentiable dynamical systems

Entropie et complexité locale des systèmes dynamiques différentiables

(1)
1
David Burguet
  • Function : Author
  • PersonId : 830437

Abstract

We first recall the formalism of entropy structures introduced by T.Downarowicz. Using this background we give an elementary proof of the tail varaitional principle and we extend it to non invertible maps.
Then we present a complete proof of Gromov's algebraic lemma, wich is the key point of Yomdin's theory. We give some news consequences of this theory : first we bound the tail measure theoritic entropy by the Lyapounov exponent and secondly we generalize a formula for the $k$ dimensionnal entropy of a product of $C^{\infty}$ maps .
Finaly we are intersesting in the theory of symbolic extensions, specialy for $C^r$ interval maps and piecewise affine map of the plane.
Dans ce travail nous nous intéressons aux systèmes dynamiques du point de vue de l'entropie. Nous rappellons tout d'abord le formalisme des structures d'entropie introduit par T.Downarowicz. Dans ce cadre on donne en particulier une preuve élémentaire du principe variationnel pour l'entropie de queue et on généralise certaines structures d'entropie aux endomorphismes.
Dans un deuxième temps, nous reprenons l'approche semi-algébrique de Y. Yomdin et M. Gromov pour contrôler la dynamique locale des applications de classe $C^r$. On présente une preuve complète du lemme algébrique de Gromov, qui est un point clé de la théorie de Yomdin. Aussi nous déduisons de nouvelles applications dynamiques de cette théorie : d'une part nous bornons l'entropie de queue mesurée en fonction de l'exposant de Lyapounov ; d'autre part nous généralisons une formule due à J.Buzzi pour l'entropie k-dimensionnelle d'un produit d'applications de classe $C^{\infty}$.
On s'intéresse enfin à la théorie des extensions symboliques due à M.Boyle et T.Downarowicz pour les applications $C^r$ et affines par morceaux du plan. On exhibe en particulier des exemples de dynamique $C^r$ de l'intervalle ayant une grande entropie d'extension symbolique. Nous donnerons aussi une borne de l'entropie d'extensions symboliques pour les applications affines par morceaux du plan.
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Dates and versions

tel-00347444 , version 1 (15-12-2008)

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  • HAL Id : tel-00347444 , version 1

Cite

David Burguet. Entropie et complexité locale des systèmes dynamiques différentiables. Mathématiques [math]. Ecole Polytechnique X, 2008. Français. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-00347444⟩
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