On the shooting algorithm for optimal control problems with state constraints
Sur l'algorithme de tir pour les problèmes de commande optimale avec contraintes sur l'état
Résumé
This thesis deals with (deterministic) optimal control problems of an ordinary differential equation subject to one or several state constraints, of arbitrary orders, in the case when the strengthened Legendre-Clebsch condition is satisfied. Pontryagin's minimum principle provides us with a well-known first-order optimality condition. In this thesis we first obtain a second-order sufficient optimality condition which is the weakest possible, i.e. which is as close as possible to the second-order necessary condition and characterizes quadratic growth. This condition allows us to obtain a characterization of the well-posedness of the shooting algorithm in presence of state constraints. Then stability and sensitivity analysis of solutions under perturbation of the data is investigated. We obtain for the first time stability results for state constraints of order greater than or equal to two that make no assumption on the structure of the trajectory. Moreover, results on structural stability of Pontryagin's extremals are given. Finally, the above results on the well-posedness of the shooting algorithm and on stability analysis allow us to design a new continuation method, for state constraints of first and second-order, whose novelty is to automatically detect the structure of the trajectory and initialize the associated shooting parameters.
Cette thèse s'intéresse au problème de commande optimale (déterministe) d'une équation différentielle ordinaire soumise à une ou plusieurs contraintes sur l'état, d'ordres quelconques, dans le cas où la condition forte de Legendre-Clebsch est satisfaite. Le principe du minimum de Pontryaguine fournit une condition d'optimalité nécessaire bien connue. Dans cette thèse, on obtient premièrement une condition d'optimalité suffisante du second ordre la plus faible possible, c'est-à-dire qu'elle est aussi proche que possible de la condition nécessaire du second ordre et caractérise la croissance quadratique. Cette condition nous permet d'obtenir une caractérisation du caractère bien posé de l'algorithme de tir en présence de contraintes sur l'état. Ensuite on effectue une analyse de stabilité et de sensibilité des solutions lorsque l'on perturbe les données du problème. Pour des contraintes d'ordre supérieur ou égal à deux, on obtient pour la première fois un résultat de stabilité des solutions ne faisant aucune hypothèse sur la structure de la trajectoire. Par ailleurs, des résultats sur la stabilité structurelle des extrémales de Pontryaguine sont donnés. Enfin, ces résultats d'une part sur l'algorithme de tir et d'autre part sur l'analyse de stabilité nous permettent de proposer, pour des contraintes sur l'état d'ordre un et deux, un algorithme d'homotopie dont la nouveauté est de déterminer automatiquement la structure de la trajectoire et d'initialiser les paramètres de tir associés.
Loading...