On the linear dynamic behavior of rotating systems with imperfections
Influence des défauts sur le comportement vibratoire linéaire des systèmes tournant
Résumé
In the case of many rotating machines (turbomachines, power pump unit...), modelling of "imperfections" such as anisotropic bearings or cracked rotors lead naturally to specific governing equations called linear periodic time-varying systems. Studying the dynamic behavior of parametric oscillators governing by this type of equations is usually simple thanks to the well-known Floquet's theory but can be more difficult for complex model with a lot of degrees of freedom...
By writing the Floquet's solutions in the frequency domain, we extend the modal analysis used for the classical oscillators to the parametric oscillators. The concept of parametric eigenmode is also introduced and described through several academic examples. Thus, the vibratory behavior of the parametric pendulum with one degree of freedom governing by the well-known Mathieu's equation is investigated. In the same manner, various 2 degrees of freedom rotating systems with non symmetrical stiffnesses are studied (simplified models of cracked rotors).
Like classic eigenmodes, parametric ones can be easily adapted to complex systems with n degrees of freedom thanks to the finite element method. However, these modes being poly-harmonic, the modal basis of the whole system is obtained through the component synthesis method where each substructure is naturally associated with each harmonic. These ideas are implemented in the finite element software Cast3m to predict the three-dimensional dynamic behavior of large rotating machines with imperfections. The numerical method efficiency is finally tested by comparing numerical and experimental results coming from a test rig composed of a vertical anisotropic shaft rotating on anisotropic supports (academic model of a horizontal open cracked rotor).
By writing the Floquet's solutions in the frequency domain, we extend the modal analysis used for the classical oscillators to the parametric oscillators. The concept of parametric eigenmode is also introduced and described through several academic examples. Thus, the vibratory behavior of the parametric pendulum with one degree of freedom governing by the well-known Mathieu's equation is investigated. In the same manner, various 2 degrees of freedom rotating systems with non symmetrical stiffnesses are studied (simplified models of cracked rotors).
Like classic eigenmodes, parametric ones can be easily adapted to complex systems with n degrees of freedom thanks to the finite element method. However, these modes being poly-harmonic, the modal basis of the whole system is obtained through the component synthesis method where each substructure is naturally associated with each harmonic. These ideas are implemented in the finite element software Cast3m to predict the three-dimensional dynamic behavior of large rotating machines with imperfections. The numerical method efficiency is finally tested by comparing numerical and experimental results coming from a test rig composed of a vertical anisotropic shaft rotating on anisotropic supports (academic model of a horizontal open cracked rotor).
Dans le cas de nombreuses machines tournantes (turboalternateurs, pompes de centrales électriques), les "défauts" (anisotropie de paliers, rotors fissurés...) introduisent naturellement des coefficients périodiques dans l'équation d'équilibre linéaire du modèle discrétisé associé. L'étude du comportement dynamique de l'oscillateur paramétrique obtenu peut alors se faire au moyen d'outils spécifiques tel que la théorie de Floquet, relativement simple à mettre en place, mais dont le traitement numérique s'avère laborieux dans le cas de modèles complexes à grand nombre de degrés de liberté...
En étudiant les solutions de Floquet dans le domaine fréquentiel, on montre que l'on peut étendre le principe d'analyse modale des oscillateurs classiques aux oscillateurs paramétriques. Le concept de modes propres paramétriques est alors introduit et ceux-ci sont étudiés à travers différents exemples académiques. On s'intéresse notamment au comportement dynamique du pendule paramétrique à un degré de liberté gouverné par l'équation de Mathieu, ainsi qu'à différents systèmes tournants à 2 degrés de libertés avec raideurs non axisymétriques (modèles simplifiés de rotors fissurés).
A l'image des modes classiques, les modes paramétriques peuvent être étendus aux systèmes complexes discrétisés par n degrés de liberté grâce aux éléments finis. Cependant, ces modes étant poly-harmoniques, on obtient la base modale du système par synthèse modale où chaque sous-structure est naturellement associée à chaque harmonique. Ces idées sont implémentées dans le logiciel éléments finis Cast3m afin de modéliser, en 3D, le comportement vibratoire d'ensemble d'une machine tournante avec un défaut de forme. L'efficacité de la méthode est alors testée en comparant les résultats numériques et expérimentaux provenant d'un banc d'essai composé d'un rotor dissymétrique en rotation sur un support anisotrope (modèle académique d'un rotor avec fissure ouverte).
En étudiant les solutions de Floquet dans le domaine fréquentiel, on montre que l'on peut étendre le principe d'analyse modale des oscillateurs classiques aux oscillateurs paramétriques. Le concept de modes propres paramétriques est alors introduit et ceux-ci sont étudiés à travers différents exemples académiques. On s'intéresse notamment au comportement dynamique du pendule paramétrique à un degré de liberté gouverné par l'équation de Mathieu, ainsi qu'à différents systèmes tournants à 2 degrés de libertés avec raideurs non axisymétriques (modèles simplifiés de rotors fissurés).
A l'image des modes classiques, les modes paramétriques peuvent être étendus aux systèmes complexes discrétisés par n degrés de liberté grâce aux éléments finis. Cependant, ces modes étant poly-harmoniques, on obtient la base modale du système par synthèse modale où chaque sous-structure est naturellement associée à chaque harmonique. Ces idées sont implémentées dans le logiciel éléments finis Cast3m afin de modéliser, en 3D, le comportement vibratoire d'ensemble d'une machine tournante avec un défaut de forme. L'efficacité de la méthode est alors testée en comparant les résultats numériques et expérimentaux provenant d'un banc d'essai composé d'un rotor dissymétrique en rotation sur un support anisotrope (modèle académique d'un rotor avec fissure ouverte).
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Mécanique [physics.med-ph]
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