FLATNESS EXTENDED TO LINEAR PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATION SYSTEMS
EXTENSION DE LA NOTION DE PLATITUDE A DES SYSTEMES DECRITS PAR DES EQUATIONS AUX DERIVEES PARTIELLES LINEAIRES
Résumé
Flatness has been already well defined and widely studied for finite dimensional dynamical systems. One of the remarquable consequences of this property is to allow parametrization of trajectories (both state and control) by free functions and their derivatives. It therefore provides an easy solution to an important problem in control theory : motion planning. For linear finite dimensional systems, flatness is exactly equivalent to controllability, via the Brunovsky canonical decomposition. This work proposes a definition of flatness for a class of infinite dimensional systems and extends Brunovsky canonical decomposition to infinite dimension. Following this new definition, the problem of flatness for a general linear 1-D diffusion equation is completely studied. A method allowing the effective computation of flat trajectories is given, and the canonical nature of this representation of trajectories is proved. Other example are studied, including the linear Kortewerg De Vries 1-D equation and a 2-D diffusion equation, which shows that the method is applicable to a wide range of problems.
La notion de platitude aété bien définie et largement étudiée pour les systèmes dynamiques de dimension finie. Une des conséquences marquantes de cette propriété est de permettre la paramétrisation des trajectoires (état et commande) par des fonctions libres et leurs dérivées, rendant ainsi aisée la solution d'un problème important en contrôle des systèmes dynamiques: la planification de trajectoires. Pour les systèmes linéaires de dimension finie, on a coïncidence exacte entre platitude et commandabilité, via la mise sous forme de Brunovsky. La possibilité de définir une notion convenable de platitude en dimension infinie, et d'étendre la notion de forme de Brunovsky à certaines classes de systèmes de dimension infinie est examinée, et une définition de la platitude est proposée pour ces systèmes. L'étude de la platitude de l'équation générale de diffusion à une variable d'espace est complètement traitée. Une méthode d'obtention d'une paramétrisation d'une famille dense de trajectoires est proposée, et la canonicité de la représentation de ces trajectoires est démontrée. Divers cas d'étude sont proposés, avec des applications à la planification de trajectoires. L'étude complète de l'équation de Korteweg-De Vries mono-dimensionnelle linéaire est réalisée, ainsi que celle d'un problème de diffusion à deux variables d'espace, montrant les possibilités d'extension de la méthode à un cadre beaucoup plus général.
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