Realization of stable digital waveguides with a realistic acoustic model for the real-time simulation of wind instruments
Réalisation en guides d'ondes numériques stables d'un modèle acoustique réaliste pour la simulation en temps-réel d'instruments à vent
Résumé
This work deals with the physical modelling of acoustic tubes for digital simulation in real-time. The main application is the sound synthesis of wind instruments, with a realistic model, a modular method and a low-cost digital implementation. The acoustic model of "Webster-Lokshin", used in this work, is an unidimensional model which takes into account the "curvature" of the profile and the "visco-thermal losses" at the wall. With this acoustic model, we obtain a framework for simulation which is compatible with the "Waveguides" approach: a tube is then represented by a system with delays and closed loops, involving several sub-systems without internal delay. A difficulty is the presence of infinite-dimensional sub-systems which behave as infinite sums of first or second order systems. First, they are approximated by finite-dimensional systems, then their "state-space representation" in the discrete time domain is determined. Finally, using standard tools of automatic control, these representations facilitate the connection of acoustic elements and reduce the computational complexity of the digital simulation. In this work, an analysis of the stability and passivity of this approach is described. For some particular cases of tubes, a problem occurs: even if the input/output relations of the tube are stable, some sub-systems have an infinity of singularities which produce internal instabilities in the system. We present an explanation of this phenomenon and to solve this problem, a new decomposition into sub-systems is performed.
Ce travail porte sur la modélisation physique des tubes acoustiques pour la simulation numérique en temps-réel. Le but principal est la synthèse sonore d'instruments à vent, avec un modèle réaliste, une méthode modulaire et une implémentation numérique faible coût. Le modèle acoustique de "Webster-Lokshin", utilisé ici, est un modèle à 1 dimension prenant en compte à la fois la "courbure" du profil et les "pertes visco-thermiques" à la paroi. Pour ce modèle acoustique, une structure de simulation compatible avec l'approche des "Guides d'Ondes" est obtenue : un tube y est représenté par un système bouclé, avec retards, faisant intervenir plusieurs sous-systèmes sans retard interne. Une difficulté est la présence de sous-systèmes de dimension infinie qui se comportent comme des sommes infinies de systèmes du premier ou du second ordre. Dans un premier temps, ils sont approximés par des systèmes de dimension finie, puis leur "représentation d'état" à temps discret est obtenue. Enfin, en utilisant des outils standard de l'automatique, ces représentations nous permettent de faciliter la connexion d'éléments acoustiques et de réduire les coûts de calcul de la simulation numérique. Dans ce travail, l'étude de la stabilité et de la passivité est faite. Pour des cas paticuliers de tubes, un problème survient : même si les relations entrées/sorties du tube sont stables, certains sous-systèmes internes possèdent une infinité de singularités à l'origine d'instabilités internes. Nous présentons une explication de ce phénomène et ceci nous amène à proposer une nouvelle décomposition en sous-systèmes pour lever ce problème.
Mots clés
Physical modelling
Acoustic tubes
Digital waveguides
Real-time simulation
Sound synthesis
Wave equations
Webster-Lokshin model
Fractional derivatives
Differential delay systems
Stability and passivity of systems
Kelly-Lochbaum networks
State space representation
Stable realization
Minimal realization
Modélisation physique
Tubes acoustiques
Guides d'Ondes Numériques
Simulation temps-réel
Synthèse de signaux acoustiques
Equations d'ondes
Modèle de Webster-Lokshin
Dérivées fractionnaires
Systèmes différentiels avec retard
Stabilité et passivité des systèmes
Réseaux de Kelly-Lochbaum
Représentation d'état
Approximation
Réalisation stable
Réalisation minimale