Périodes d'intégrales rationnelles : algorithmes et applications

Résumé : Une période d'intégrale rationnelle est le résultat de l'intégration, par rapport à une ou plusieurs variables, d'une fraction rationnelle le long d'un chemin fermé. Quand la période considérée dépend d'un paramètre, elle est solution d'une équation différentielle linéaire particulière, appelée équation de Picard-Fuchs. Ces équations et leur calcul effectif ont un rôle important en calcul formel mais aussi en géométrie algébrique (elles renferment des invariants géométriques), en combinatoire (de nombreuses séries génératrices sont des périodes) ou en physique théorique. Cette thèse propose et étudie des algorithmes pour les calculer.Le premier chapitre démontre des bornes sur la taille des équations de Picard-Fuchs et sur la complexité de leur calcul. Certains algorithmes calculant ces équations produisent en même temps des certificats, souvent immenses, qui permettent de vérifier après coup la validité de l'équation. Les bornes obtenues éclairent la nature calculatoire des équations de Picard-Fuchs et montrent en particulier que les certificats ne sont pas des sous-produits nécessaires. La démonstration repose sur l'étude du cas générique et sur la réduction de l'ordre du pôle par la méthode de Griffiths-Dwork.Le deuxième chapitre propose un algorithme pour calculer les équations de Picard-Fuchs, visant l'efficacité pratique plutôt que la maitrise de la complexité. Il permet le calcul de nombreuses intégrales jusque-là non résolues. Il repose sur une méthode de réduction de l'ordre du pôle étendant celle de Griffiths-Dwork et adaptée aux cas singuliers.Le troisième chapitre établit précisément une correspondance entre les périodes d'intégrales rationnelles et les séries génératrices des sommes binomiales, un certain type de sommes discrètes. Combiné avec le calcul des équations de Picard-Fuchs, cela donne une algorithmique souple et efficace pour le calcul des sommes binomiales et la preuve automatique d'identités.
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Calcul formel [cs.SC]. École polytechnique, 2014. Français
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Contributeur : Pierre Lairez <>
Soumis le : lundi 1 décembre 2014 - 11:15:20
Dernière modification le : jeudi 9 février 2017 - 15:47:44
Document(s) archivé(s) le : vendredi 14 avril 2017 - 23:36:15

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Pierre Lairez. Périodes d'intégrales rationnelles : algorithmes et applications. Calcul formel [cs.SC]. École polytechnique, 2014. Français. 〈tel-01089130〉

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