Non idempotent-intersection types to refine strong normalisation with quantitative information
Types intersections non-idempotents pour raffiner la normalisation forte avec des informations quantitatives
Résumé
We study systems of non-idempotent intersection types for different variants of the lambda-calculus and we discuss properties and applications. Besides the pure lambda-calculus itself, the variants are a λ-calculus with explicit substitutions and a lambda-calculus with constructors, matching and a fixpoint operator. The typing systems we introduce for these calculi all characterize strongly normalising terms. But we also show that, by dropping idempotency of intersections, typing a term provides quantitative information about it: a trivial measure on its typing tree gives a bound
on the size of the longest beta-reduction sequence from this term to its normal form. We explore how to refine this approach to obtain finer results: some of the typing systems, under certain conditions, even provide the exact measure of this longest
beta-reduction sequence, and the type of a term gives information on the normal form of this term. Moreover, by using filters, these typing systems can be used to define a denotational semantics.
Nous étudions des systèmes de typage avec des types intersections non-idempotents pour des variantes du lambda-calcul et nous discutons de leurs propriétés et de leurs applications. Outre le lambda-calcul lui-même, les variantes sont un lambda-calcul avec des substitutions explicites et un lambda-calcul avec des constructeurs, du filtrage et un opérateur de point fixe. Les sytèmes de typage que l'on présente caractérisent les termes fortement normalisables. Mais nous montrons également qu'un jugement de typage d'un terme donne des informations quantitatives : une mesure triviale sur l'arbre de typage d'unlambda-terme quelconque donne une borne sur la taille de la plus longue séquence de beta-reductions depuis ce lambda-terme jusqu'à sa forme normale. Nous raffinons cette approche pour obtenir un résultat plus précis: certains systèmes de typages, sous certaines conditions, donnent même une mesure exacte de cette plus longue séquence de beta-reductions, et le type du terme donne des informations sur la forme normale de ce terme. De plus, en utilisant des filtres, ces systèmes de typage peuvent être utilisés pour définir une sémantique dénotationnelle.
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