Irreducible trinomials over F2 and ternary cyclic codes of rate 1/2
Trinômes irréductibles sur F2 et codes cycliques ternaires de rendements 1/2
Résumé
Considering polynomials over the Galois finite fields for two elements, our intention stand over the divisibility of the trinomials x^am+x^bs+1, for m>s ≥ 1, by an irreducible polynomial of degree r, for this, we contribute to the result :If there exist positive integers m, s such that the trinomial x^am+x^bs+1 is divisible by an irreducible polynomial of degree r over F2, then a and b are not divisible by (2^r- 1). For this type of trinomials we conjectured that the ratios πM(a,b)/ πM(1,1) tend to a finite limit (dependently of a and b) when M tend to infinity. Our research stand at sequel on the cyclic codes of rate 1/2 over the two finite fields F3 and F5 and we check our research over whose are isodual. The so-called fundamental problem in coding theory is finding the largest value of dq for which a code of parameters [n, q, d] over Fq exists. In this context we have successfully optimize this distance for the cyclic codes of rate 1/2 over F3 and F5 up to length 74 for the ternary cyclic codes and 42 for whose over F5. We have also successful to construct seven classes of isodual cyclic codes over the field of 3 elements and three classes over the field of 5 elements.
En considérant les polynômes sur le corps fini de Galois à deux éléments, notre intention porte sur la divisibilité des trinômes x^am+x^bs+1, pour m>s≥1, par un polynôme irréductible de degré r, pour cela, nous avons réalisé le résultat :S'il existe m, s des entiers positifs tels que le trinôme x^am+x^bs+1 soit divisible par un polynôme irréductible de degré r sur F2, alors a et b ne sont pas divisibles par (2r- 1). Pour ce type de trinômes nous conjecturons que le rapport πM(a,b)/ πM(1,1) tend vers une limite finie (dépendant de a et b) quand M tend vers l'infini. Notre recherche porte ensuite sur les codes cycliques de rendement 1/2 sur les deux corps finis F3 et F5 et nous accentuons notre recherche sur ceux iso duaux. Le problème central dans la théorie du codage est trouver la plus grande distance minimum dq pour laquelle un code de paramètres [n, q, d] sur Fq existe. Dans ce contexte nous avons réussi à optimiser cette distance pour les codes cycliques de taux 1/2 sur F3 et F5 en allant jusqu’à la longueur 74 pour les codes ternaires et 42 pour ceux sur F5. Nous avons aussi réussi à construire sept classes de codes cycliques iso-duaux sur le corps fini à 3 éléments et trois classes de codes cycliques iso-duaux sur le corps fini à 5 éléments.
Origine : Version validée par le jury (STAR)
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